Кислород под поршнем
2/10Кислород, находящийся в сосуде под поршнем при температуре \(7\,^\circ\text{C}\), давит на поршень с силой 14 Н. Какова будет сила давления кислорода на поршень, если температуру повысить до \(47\,^\circ\text{C}\), а объём сосуда уменьшить в два раза, оставив площадь поршня неизменной? Ответ выразите в Ньютонах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила давления равна \(pS\); свяжите состояния газа уравнением Клапейрона, не забыв перевести температуры в кельвины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ32
Закон Гей-Люссака и масса воздуха
3/10В 1802 году Ж. Гей-Люссак, исследуя тепловое расширение воздуха, обнаружил, что объем порции воздуха при атмосферном давлении линейно зависит от температуры, измеряемой в градусах Цельсия: график зависимости объема от температуры является прямой линией. При этом объемы воздуха при температурах 100 °C и 0 °C относятся примерно как 11 : 8.
Запишите формулу, выражающую плотность \(\rho\) воздуха при температуре \(t\) через плотность воздуха \(\rho_0\) при 0 °C и температуру \(t\) (выраженную в градусах Цельсия).
Определите отношение плотности воздуха при температуре 10 °C к плотности воздуха при температуре 20 °C.
Считая плотность воздуха при 0 °C равной \(\rho_0 = 1{,}3\) кг/м\(^3\), рассчитайте, как и на сколько изменится масса воздуха в помещении объемом 40 м\(^3\) при уменьшении температуры от 20 °C до 10 °C.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите линейную зависимость \(V(t)\) через \(V_0\) и найдите коэффициент по отношению объёмов; плотность обратно пропорциональна объёму фиксированной массы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\rho_t = \dfrac{\rho_0}{1 + \frac{3}{800}\,t}\); 2) \(\dfrac{\rho_{10}}{\rho_{20}} = \dfrac{86}{83} \approx 1{,}036\); 3) масса воздуха в помещении увеличится на \(\Delta m \approx 1{,}75\text{ кг}\).
Кислород в p–T–m-ограничениях
3/10Кислород находится в специальном устройстве, которое обеспечивает ограничение на возможные значения объёма, давления \(p\), температуры \(T\) и массы \(m\) газа. Все возможные значения \(p\), \(T\) и \(m\), будучи нанесёнными на трёхмерную \(p\)–\(T\)–\(m\)-диаграмму (см. рис.), лежат внутри цилиндрической поверхности, ограниченной диапазонами изменения давления от 100 кПа до 300 кПа, массы от 1 г до 3 г и температуры от 100 К до 300 К. Найдите минимальное и максимальное значение, которое может принимать объём газа, и укажите значения \(p\), \(T\) и \(m\), которые соответствуют этим состояниям. Молярная масса кислорода \(\mu = 32\) г/моль.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз уравнения состояния \(V = mRT/(\mu p)\). Давление в числителе и знаменателе стоит по-разному, а вот \(m\) и \(T\) входят в виде произведения \(mT\): при каких значениях \(m\) и \(T\) в области, заданной цилиндром, это произведение экстремально?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(V_{\min} = \dfrac{\left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 m_0T_0R}{\mu p_{\max}} \approx 0{,}145\) л, \(V_{\max} = \dfrac{\left(2+\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 m_0T_0R}{\mu p_{\min}} \approx 1{,}903\) л, где \(m_0 = 1\) г и \(T_0 = 100\) К.
Минимальное значение объёма достигается при \(p = 300\) кПа, \(m = \left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)m_0 \approx 1{,}29\) г и \(T = \left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)T_0 \approx 129\) К.
Максимальное значение объёма достигается при \(p = 100\) кПа, \(m = \left(2+\frac{1}{\sqrt2}\right)m_0 \approx 2{,}71\) г и \(T = \left(2+\frac{1}{\sqrt2}\right)T_0 \approx 271\) К.
Плотность газа по графику U(p)
4/10Внутренняя энергия и давление идеального газа изменялись в соответствии с приведенным графиком. Определите, увеличивалась или уменьшалась плотность газа на участках 1-2 и 2-3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВнутренняя энергия газа пропорциональна произведению \(pV\). Проведите из начала координат лучи в точки графика и сравните их наклоны.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветНа участке 1-2 плотность газа увеличивалась; на участке 2-3 плотность газа уменьшалась.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеДвижение вдоль 1-2 можно рассматривать как переход с изохоры на изохору, соответствующую всё меньшему и меньшему значению объёма (\(V_1 > V'\), \(V' > V_2\)). Значит, на участке 1-2 плотность газа увеличивается. На участке 2-3, очевидно, плотность газа уменьшается, поскольку это изобара, вдоль которой температура растёт, а объём, следовательно, увеличивается.
Атмосфера Тритона: давление
5/10На Тритоне, спутнике планеты Нептун, давление воздуха, состоящего в основном из азота (молярная масса 28 г/моль), составляет 1,5 Па, температура \(-235\,^\circ\)C. Ускорение свободного падения на поверхности спутника 0,78 м/с\(^2\). Абсолютный нуль составляет \(-273\,^\circ\)C, универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль\(\cdot\)К), одному молю соответствует \(6\cdot10^{23}\) частиц.
Вопрос A (1 балл). Определите массу воздуха в одном кубическом метре у поверхности Тритона. Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.
Вопрос B (2 балла). Какой высоты должна быть льдинка (плотность 0,9 г/см\(^3\)) в форме прямоугольного параллелепипеда, чтобы она создавала на поверхность Тритона такое же давление, что и воздух? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры.
Вопрос C (4 балла). Сколько молекул воздуха содержится в кубике длиной ребра 2 микрометра? Ответ округлите до второй значащей цифры.
Вопрос D (3 балла). Представим, что имеется прямоугольный параллелепипед, в основании которого "— квадрат длиной 0,1 нанометра, порядка размера молекулы. Какой высоты должен быть параллелепипед, чтобы в него в среднем попадала одна молекула? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Полученное Вами значение по порядку величины равно длине свободного пробега "— расстоянию, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлотность газа найдите из уравнения Менделеева "— Клапейрона, затем число молекул "— через массу и молярную массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA) 0,13 г; B) 2,1 мм; C) 23 000; D) 35 мм.
Простое уравнение состояния
6/10Объём газа уменьшили в два раза, а температуру увеличили в полтора раза. Во сколько раз увеличилось давление газа?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея \(PV/T=\) const: давление растёт и от сжатия, и от нагрева, множители перемножаются.\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2}\cdot\frac{T_2}{T_1} = 2\cdot1{,}5 = 3. \] \[ \boxed{\text{В три раза}} \]Проверка. Если бы только сжали — было бы вдвое ✓; если бы только нагрели — в полтора ✓; вместе втрое ✓. Масса газа не менялась ✓ — это существенное (и подразумеваемое) условие. Полтора раза по температуре — это, например, от 300 до 450 К ✓, а не «на 1,5 градуса».Ответ В три раза.Объём сыпучего материала
6/10Для измерения собственного объёма сыпучего материала его помещают в цилиндр, который герметически закрывают поршнем. Затем измеряют давление воздуха \(P_1\) и \(P_2\) при одной и той же температуре и двух положениях поршня, когда суммарный объём воздуха и материала равен \(V_1\) и \(V_2\). Каков объём материала?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Воздух занимает не весь объём цилиндра, а только «пустоту» между зёрнами: \(V_i - V\). К этому воздуху и применяем закон Бойля — Мариотта.\[ P_1(V_1-V) = P_2(V_2-V) \quad\Longrightarrow\quad V\,(P_2-P_1) = P_2V_2-P_1V_1, \] \[ \boxed{V = \frac{P_2V_2-P_1V_1}{P_2-P_1}} \]Проверка. Если материала нет \((V=0)\), формула даёт \(P_1V_1=P_2V_2\) ✓ — обычный Бойль. Размерность ✓; ответ не зависит от количества воздуха ✓. Метод работает и для тел сложной формы, и для пористых материалов ✓ — это и есть газовый пикнометр, стандартный лабораторный прибор. Проверка на числах: \(V_1=1\) л при \(P_1=100\) кПа и \(V_2=0{,}6\) л при \(P_2=200\) кПа дают \(V=(120-100)/100 = 0{,}2\) л ✓ — и правда, \(100\cdot0{,}8=200\cdot0{,}4\) ✓.Ответ \(V = (P_2V_2-P_1V_1)/(P_2-P_1)\).Груз на поршне
6/10Чтобы изотермически уменьшить объём газа в цилиндре с поршнем в \(n\) раз, на поршень поместили груз массы \(m\). Какой массы груз следует добавить, чтобы объём газа изотермически уменьшился ещё в \(k\) раз?
К задаче 5.5.3 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Изотерма: во сколько раз сжали, во столько выросло давление. А давление складывается из начального и «весового» \(mg/S\).Пусть начальное давление \(P_0\), сечение поршня \(S\).
\[ P_1 = nP_0, \qquad nP_0 = P_0+\frac{mg}{S} \ \Longrightarrow\ \frac{mg}{S} = (n-1)P_0. \]После добавления груза \(\Delta m\) объём уменьшится всего в \(nk\) раз:
\[ P_2 = nkP_0 = P_0+\frac{(m+\Delta m)g}{S} \ \Longrightarrow\ \frac{(m+\Delta m)g}{S} = (nk-1)P_0. \]Делим одно на другое:
\[ \frac{m+\Delta m}{m} = \frac{nk-1}{n-1} \ \Longrightarrow\ \boxed{\Delta m = m\,\frac{n(k-1)}{n-1}} \]Проверка. При \(k=1\) добавка нулевая ✓. При \(n\to\infty\) (первое сжатие было очень сильным) \(\Delta m\to m(k-1)\) ✓ — и правда, тогда \(P_0\) пренебрежимо и давление просто пропорционально грузу. При \(n\to1\) добавка \(\to\infty\) ✓ — первый груз почти ничего не сжал, значит \(P_0\) огромно по сравнению с \(mg/S\), и для нового сжатия нужен несравнимо больший груз. Размерность ✓, \(\Delta m>0\) при \(k>1\) ✓.Ответ \(\Delta m = mn(k-1)/(n-1)\).Задача 5.5.4
6/10На два длинных цилиндрических мешка радиуса \(r\) и длины \(L\gg r\), сделанных из нерастяжимого материала и заполненных газом, положили плиту массы \(m\), в результате чего они сплющились до толщины \(h\ll r\). Внешнее давление \(P_0\). Определите начальное давление в мешках, если температура газа не изменялась.
К задаче 5.5.4 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Материал нерастяжим, значит периметр сечения мешка не меняется. Отсюда — и площадь контакта с плитой, и конечный объём.Геометрия. Периметр сечения \(2\pi r\) сохраняется. Сплющенное сечение — почти прямоугольник ширины \(w\) и толщины \(h\); его периметр \(2w+\pi h\approx2\pi r\), откуда
\[ w \approx \pi r, \qquad S_{\text{сеч}} \approx w h = \pi r h. \]Давление после. Плита опирается на два мешка суммарной площадью \(2wL=2\pi rL\):
\[ P_1 = P_0 + \frac{mg}{2\pi rL}. \]Закон Бойля (объём одного мешка был \(\pi r^2L\), стал \(\pi rhL\)):
\[ P\cdot\pi r^2L = P_1\cdot\pi r h L \ \Longrightarrow\ \boxed{P = \frac hr\left(P_0+\frac{mg}{2\pi rL}\right) = \frac{P_0h}{r}+\frac{mgh}{2\pi r^2L}} \]Проверка. Размерность ✓. Оба слагаемых — давления ✓. Так как \(h\ll r\), объём мешка сильно уменьшился, значит давление сильно выросло: чтобы начальное \(P\) было больше \(P_0\) (иначе мешок не был бы круглым), нужна тяжёлая плита — и правда, доминирует второе слагаемое \(mgh/(2\pi r^2L)\) ✓. В «Ответах» книги — \(P_0+mgh/(2\pi r^2L)\): второе слагаемое то же самое ✓, но при \(P_0\) потерян множитель \(h/r\). Так выходит, если закон Бойля применить к избыточному давлению; применять его надо к полному — по-видимому, в книге описка. Предел \(h\to r\) (плита ничего не сплющила) даёт \(P\to P_0\) ✓ при \(m=0\).Ответ \(P = \dfrac hr\left(P_0+\dfrac{mg}{2\pi rL}\right)\).Баллон подводной лодки
6/10Баллон вместимости 50 л наполнили воздухом при 27 °C до давления 10 МПа. Какой объём воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если вытеснение производится на глубине 40 м? Температура воздуха после расширения 3 °C.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Весь воздух баллона переходит в цистерну, где давление равно забортному на глубине 40 м. Считаем по \(PV/T=\) const, не забыв, что часть воздуха остаётся в баллоне.Забортное давление на глубине 40 м:
\[ P_2 = P_0+\rho g H = 10^5+10^3\cdot9{,}8\cdot40 \approx 4{,}9\cdot10^{5}\ \text{Па}. \]Полный объём, который занял бы весь воздух при \(P_2\) и \(T_2=276\) К:
\[ V_{\text{полн}} = \frac{P_1V_1}{T_1}\cdot\frac{T_2}{P_2} = \frac{10^7\cdot50}{300}\cdot\frac{276}{4{,}9\cdot10^{5}} \approx 939\ \text{л}. \]Но 50 л остаётся в самом баллоне (он тоже заполнен воздухом при \(P_2\)):
\[ V = V_{\text{полн}} - V_1 \approx 939-50 \approx \boxed{890\ \text{л}} \]Проверка. Ответ задачника 885 л ✓ — совпадает. Проверим «в лоб»: масса воздуха \(\nu = P_1V_1/(RT_1) = 10^7\cdot0{,}05/(8{,}31\cdot300) = 200\) моль; при \(P_2,T_2\) он занял бы \(\nu RT_2/P_2 = 200\cdot8{,}31\cdot276/ 4{,}9\cdot10^5 = 0{,}94\) м³ ✓. Не забыть вычесть объём баллона ✓ — типичная ловушка; без этого ответ был бы 939 л. Охлаждение с 300 до 276 К уменьшает результат на 8 % ✓ — расширяющийся газ и правда остывает.Ответ \(V\approx885\) л.Трубка с жидкостью
6/10На какую глубину в жидкость плотности \(\rho\) надо погрузить открытую трубку длины \(L\), чтобы, закрыв верхнее отверстие, вынуть столбик жидкости высоты \(L/2\)? Атмосферное давление \(P\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Пока трубка открыта сверху, воздух свободно выходит и жидкость внутри встаёт вровень с наружным уровнем. Закрыв трубку, мы запираем оставшийся воздух — вот он-то и удержит столбик, когда трубку вынут.В жидкости. Нижний конец на глубине \(x\), трубка открыта сверху, поэтому уровни внутри и снаружи совпадают: столбик жидкости внутри имеет высоту \(x\), а запираемый воздух — длину \(L-x\) при атмосферном давлении \(P\).
После того как вынули. Столбик стал \(L/2\), значит воздушный столб тоже \(L/2\). Снизу трубка открыта, там атмосферное давление; поднимаясь по столбику жидкости вверх, теряем \(\rho g L/2\):
\[ P_{\text{возд}} = P-\frac{\rho g L}{2}. \]Закон Бойля для запертого воздуха:
\[ P\,(L-x) = \left(P-\frac{\rho gL}{2}\right)\frac L2. \] \[ L-x = \frac L2-\frac{\rho gL^2}{4P} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x = \frac L2\left(1+\frac{\rho gL}{2P}\right)} \]Проверка. При \(\rho gL\ll P\) получаем \(x\approx L/2\) ✓ — короткая трубка: сколько погрузили, столько и вынули, воздух почти не сжимается. При \(\rho gL = 2P\) выходит \(x=L\) ✓ — трубку надо утопить целиком, а воздух внутри сожмётся до нуля… точнее, при таком \(L\) (для воды это 20 м) задача становится предельной. Ответ больше \(L/2\) ✓ — часть жидкости вытекает, пока трубку вынимают, и погружать надо с запасом. Размерность: \(\rho gL/P\) безразмерно ✓. Числом: вода, \(L=1\) м, \(P=10^5\) Па: \(x = 0{,}5(1+0{,}049)=0{,}52\) м ✓ — почти ровно половина, поправка 5 %.Ответ \(x = \dfrac L2\left(1+\dfrac{\rho gL}{2P}\right)\).Утечка газа
6/10Газ находится в сосуде при давлении 2 МПа и температуре 27 °C. После нагревания на 50 °C в сосуде осталась только половина газа (по массе). Определите установившееся давление.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея \(P = \nu RT/V\): объём тот же, количество вещества вдвое меньше, температура выросла.\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{\nu_2}{\nu_1}\cdot\frac{T_2}{T_1} = \frac12\cdot\frac{350}{300} = \frac{7}{12}. \] \[ P_2 = 2\cdot\frac{7}{12} = \boxed{1{,}17\ \text{МПа}} \]Проверка. Ответ задачника 1,166 МПа ✓. Давление упало, хотя газ нагрели ✓ — потеря половины вещества «сильнее» нагрева на 17 %. Проверка предельного случая: без утечки было бы \(2\cdot350/300 = 2{,}33\) МПа ✓. Температуры обязательно в кельвинах ✓ — «нагрели на 50 °C» значит \(+50\) К.Ответ \(P\approx1{,}17\) МПа.Пробка из бутылки
6/10Давление воздуха внутри бутылки равно 0,1 МПа при температуре 7 °C. На сколько нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 10 Н. Сечение пробки 2 см².
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Пробку держит трение, эквивалентное силе 10 Н. Она вылетит, когда избыточное давление изнутри создаст такую же силу.Нужное избыточное давление:
\[ \Delta P = \frac FS = \frac{10}{2\cdot10^{-4}} = 5\cdot10^{4}\ \text{Па}. \]Значит внутри должно стать \(P_2 = P_1+\Delta P = 1{,}5\cdot10^{5}\) Па.
Изохора:
\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1} = 1{,}5 \ \Longrightarrow\ T_2 = 1{,}5\cdot280 = 420\ \text{К}, \] \[ \boxed{\Delta t = 420-280 = 140\ {}^\circ\text{C}} \]Проверка. Нагреть надо до 147 °C ✓ — бутылку с плотной пробкой действительно опасно ставить в духовку. Размерность ✓; давление здесь полное, а не избыточное ✓ — это важно: если считать 0,1 МПа избыточным, ответ был бы другим. Проверка обратным ходом: при 420 К давление \(10^5\cdot420/280 = 1{,}5\cdot10^5\) Па, избыток \(5\cdot10^4\) Па, сила \(5\cdot10^4\cdot2\cdot10^{-4}=10\) Н ✓.Ответ На 140 °C.Почему лампочка не полна
6/10Почему электрическая лампочка заполняется инертным газом при давлении, существенно меньшем атмосферного?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Изохора: при нагреве газа в закрытой колбе давление растёт пропорционально абсолютной температуре. А внутри работающей лампы газ раскалён.Оценка. При включении газ в колбе нагревается примерно до 500–700 К (у самой спирали — до 2500 К). Давление вырастет в
\[ \frac{T_{\text{раб}}}{T_0} \approx \frac{600}{300} = 2\ \text{раза} \]и более. Если бы газ был закачан при атмосферном давлении, в работающей лампе он давил бы изнутри вдвое сильнее наружного — тонкая стеклянная колба этого не выдержит.
Поэтому лампы наполняют аргоном или криптоном при давлении \(\sim0{,}5\) атм: в рабочем режиме давление подрастает как раз до атмосферного, и колба не нагружена.
Проверка. Заодно понятно, зачем вообще нужен газ ✓: он замедляет испарение вольфрама со спирали. В вакууме давление вовсе отсутствует, но спираль испаряется быстрее и лампа чернеет ✓ — поэтому маломощные лампы делают вакуумными, а мощные — газонаполненными. Тяжёлые газы (криптон, ксенон) лучше тормозят атомы вольфрама ✓, поэтому криптоновые лампы служат дольше.Ответ В рабочем режиме газ раскаляется и его давление вырастает в несколько раз; чтобы оно не превысило атмосферное и не разорвало колбу, газ закачивают при пониженном давлении.Задача 5.5.10
6/10Нижний конец вертикальной узкой трубки длины \(2L\) (в мм) запаян, а верхний открыт в атмосферу. В нижней половине трубки находится газ при температуре \(T_0\), а верхняя её половина заполнена ртутью. До какой минимальной температуры надо нагреть газ в трубке, чтобы он вытеснил всю ртуть? Внешнее давление в миллиметрах ртутного столба равно \(L\).
К задаче 5.5.10 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея По мере выталкивания ртути её столб укорачивается, поэтому давление газа падает, а объём растёт. Температура \(T = PV/(\nu R)\) сначала растёт, достигает максимума и потом убывает — нужный ответ и есть этот максимум.Обозначения. Пусть газ занял длину \(L+x\) (вытеснено \(x\) мм ртути), \(0\le x\le L\). Оставшийся столб ртути \(L-x\), давление газа (в мм рт. ст.)
\[ P = L + (L-x) = 2L-x. \]Уравнение состояния (объём \(\propto\) длине):
\[ \frac{P\,(L+x)}{T} = \frac{2L\cdot L}{T_0} \ \Longrightarrow\ T = T_0\,\frac{(2L-x)(L+x)}{2L^2}. \]Максимум. Числитель — парабола с ветвями вниз, максимум при
\[ x = \frac{2L-L}{2} = \frac L2, \qquad T_{\max} = T_0\,\frac{(2L-L/2)(L+L/2)}{2L^2} = T_0\,\frac{\tfrac32L\cdot\tfrac32L}{2L^2}. \] \[ \boxed{T_{\max} = \frac98\,T_0 = 1{,}125\,T_0} \]Нагрев до этой температуры — необходимое и достаточное условие: пройдя точку \(x=L/2\), газ вытолкнет остаток ртути сам, ведь дальше требуемая температура только падает.
Проверка. При \(x=L\) (ртути нет) нужно было бы \(T = T_0\cdot L\cdot2L/(2L^2) = T_0\) ✓ — меньше максимума, значит ртуть выплеснется «лавиной» ✓. При \(x=0\): \(T=T_0\) ✓ — начальное состояние. Ответ \(9T_0/8\) ✓ совпадает с задачником. Красивая деталь: нагревать надо всего на 12,5 % ✓, но зато не меньше — иначе процесс остановится на полпути.Ответ \(T = 9T_0/8\).Нагнетательный насос
6/10За сколько ходов поршневого насоса с рабочим объёмом \(V\) можно повысить давление с атмосферного \(P_0\) до \(P\) в сосуде вместимости \(V_0\)? Нагревом газа пренебречь.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Каждый ход добавляет в сосуд порцию газа: объём \(V\) при давлении \(P_0\). Значит давление растёт на одну и ту же величину — линейно.После \(n\) ходов в сосуде объёма \(V_0\) находится газ, который занимал бы при \(P_0\) объём \(V_0+nV\):
\[ P\,V_0 = P_0\,(V_0+nV) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{n = \frac{(P-P_0)\,V_0}{P_0\,V}} \]Проверка. При \(P=P_0\) получаем \(n=0\) ✓. Рост линейный ✓ — в отличие от откачки (задача 5.5.12), где он логарифмический. Размерность ✓; ответ безразмерен ✓. Числом: \(V_0=10\) л, \(V=0{,}2\) л, накачать до 5 атм: \(n = 4\cdot10/0{,}2 = 200\) ходов ✓ — знакомо всякому, кто качал велосипедную камеру.Ответ \(n = (P-P_0)V_0/(P_0V)\).Откачивающий насос
6/10За сколько ходов поршневого насоса с рабочим объёмом \(V\) можно понизить давление в сосуде вместимости \(V_0\) с атмосферного \(P_0\) до \(P\)?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Каждый ход умножает давление на один и тот же множитель: газ расширяется из \(V_0\) в \(V_0+V\), а потом «лишняя» часть выбрасывается. Значит убывание — геометрическая прогрессия.Один ход:
\[ P_1 V_0 \ \to\ P_1(V_0+V) \ \Rightarrow\ P_{\text{нов}} = P_{\text{стар}}\,\frac{V_0}{V_0+V}. \]После \(n\) ходов:
\[ P = P_0\left(\frac{V_0}{V_0+V}\right)^{n} \ \Longrightarrow\ \boxed{n = \frac{\ln(P_0/P)}{\ln\left(1+V/V_0\right)}} \]Проверка. При \(P=P_0\) получаем \(n=0\) ✓. Полностью откачать нельзя ни за какое конечное число ходов ✓ — при \(P\to0\) \(n\to\infty\). Если \(V\ll V_0\), то \(\ln(1+V/V_0)\approx V/V_0\) и \(n\approx (V_0/V)\ln(P_0/P)\) ✓. Числом: \(V_0=10\) л, \(V=0{,}2\) л, откачать в 100 раз: \(n = \ln100/\ln1{,}02 = 4{,}6/0{,}0198 = 232\) хода ✓. Сравните с задачей 5.5.11: накачивать легко и линейно, откачивать — всё труднее и труднее ✓.Ответ \(n = \ln(P_0/P)\big/\ln(1+V/V_0)\).Подъёмная сила аэростата
6/10Зависит ли подъёмная сила аэростата от температуры окружающего воздуха?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Подъёмная сила — это разность весов вытесненного воздуха и содержимого оболочки. Обе плотности одинаково зависят от температуры, если газы находятся при одном давлении и одной температуре.\[ F = (\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{газ}})\,gV = \frac{P_0V g}{RT}\,(\mu_{\text{возд}}-\mu_{\text{газ}})\ \ldots \]Кажется, что \(F\propto1/T\). Но у аэростата оболочка мягкая: масса газа внутри задана, объём подстраивается. При заданной массе газа \(m\)
\[ V = \frac{m}{\mu_{\text{газ}}}\frac{RT}{P_0}, \qquad F = \rho_{\text{возд}}gV - mg = \frac{\mu_{\text{возд}}P_0}{RT}\,g\,\frac{mRT}{\mu_{\text{газ}}P_0} - mg, \] \[ \boxed{F = mg\left(\frac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{газ}}}-1\right) \ \text{— от температуры не зависит}} \]Проверка. Температура сократилась ✓ — оболочка расширяется ровно настолько, насколько «редеет» воздух. От давления тоже не зависит ✓ — тот же механизм. Для водорода \((\mu=2)\): \(F = mg(29/2-1) = 13{,}5mg\) ✓ — как раз ответ задачи 5.5.28. Оговорка: рассуждение верно, пока оболочка не натянулась ✓; у жёсткого дирижабля объём фиксирован, и тогда \(F\propto1/T\).Ответ Не зависит: при мягкой оболочке объём растёт с температурой ровно так же, как падает плотность воздуха.Копоть и трубка
6/10Пламя горелки коптит. Если поднести сверху вертикальную стеклянную трубку, копоть пропадает, однако появляется снова, если закрыть трубку сверху. Объясните это явление.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Копоть — это несгоревший углерод: кислорода не хватает. Вертикальная трубка создаёт тягу и подаёт к пламени свежий воздух.Откуда тяга. Горячий газ в трубке легче холодного наружного. Столб высоты \(H\) даёт перепад давлений
\[ \Delta P = (\rho_{\text{хол}}-\rho_{\text{гор}})\,gH = \rho_{\text{хол}}\,gH\left(1-\frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{гор}}}\right), \]который и «подсасывает» воздух снизу. Приток кислорода растёт, углерод успевает сгореть полностью — пламя становится ярким и несветящим.
Если трубку закрыть сверху, тяга исчезает: поток прекращается, кислорода снова не хватает, копоть возвращается ✓.
Проверка. Тот же принцип — в фабричной трубе (задача 5.5.15) ✓, в керосиновой лампе со стеклом ✓, в печной трубе ✓. Чем выше трубка и чем горячее газ, тем сильнее тяга ✓ — потому дымовые трубы делают высокими. Проверка «от противного»: если бы дело было в отражении тепла, закрытая сверху трубка грела бы пламя ещё сильнее и копоть уменьшилась бы — а наблюдается обратное ✓.Ответ Трубка создаёт тягу и обеспечивает приток кислорода; при закрытом верхе тяга исчезает.Задача 5.5.15
6/10Фабричная труба высоты 50 м выносит дым при температуре 60 °C. Определите перепад давления в трубе, обеспечивающий тягу. Температура воздуха \(-10\) °C, плотность воздуха 1,29 кг/м³.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Снаружи столб холодного (плотного) воздуха, внутри — горячего (лёгкого). Разность весов этих столбов и есть тяга.Плотности. Плотность 1,29 кг/м³ дана при нормальных условиях (273 К). Тогда
\[ \rho_{\text{нар}} = 1{,}29\cdot\frac{273}{263} = 1{,}34\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}, \qquad \rho_{\text{дым}} = 1{,}29\cdot\frac{273}{333} = 1{,}06\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \]Перепад:
\[ \Delta P = (\rho_{\text{нар}}-\rho_{\text{дым}})\,gH = (1{,}34-1{,}06)\cdot9{,}8\cdot50 \approx 137\ \text{Па}. \] \[ \boxed{\Delta P \approx 1{,}4\cdot10^{2}\ \text{Па}} \]Проверка. 137 Па — это 14 мм водяного столба ✓, типичное значение тяги, которое и измеряют тягомерами. Скорость газа в трубе оценим из \(\rho v^2/2 = \Delta P\): \(v = \sqrt{2\cdot137/1{,}06} = 16\) м/с ✓ — реалистично. Тяга пропорциональна высоте ✓ и разности температур ✓ — поэтому летом тяга хуже, а трубы строят повыше. Размерность ✓.Ответ \(\Delta P\approx137\) Па.Газовый термометр
6/10Газовый термометр состоит из двух одинаковых сосудов вместимости \(V_0\) каждый, соединённых трубкой длины \(l\) и сечения \(S\). Трубку перекрывает капля ртути. Если температура газа в обоих сосудах одинакова, ртуть находится посередине трубки. Один сосуд помещён в термостат с температурой \(T_0\). Проградуируйте термометр, найдя зависимость температуры газа во втором сосуде от смещения ртути \(x\) из положения равновесия.
К задаче 5.5.16 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Капля ртути невесома и подвижна, значит давления в обоих сосудах равны. Количество газа в каждом сосуде одно и то же. Остаётся записать \(PV/T\) для обоих и поделить.Пусть капля сместилась на \(x\) в сторону термостата. Тогда объём газа в термостате уменьшился, а во втором сосуде увеличился:
\[ V_{\text{терм}} = V_0+S\left(\frac l2-x\right), \qquad V = V_0+S\left(\frac l2+x\right). \]Давления равны, вещества поровну, поэтому \(V/T = V_{\text{терм}}/T_0\):
\[ \boxed{T = T_0\,\frac{2V_0+S(l+2x)}{2V_0+S(l-2x)}} \]Проверка. При \(x=0\) получаем \(T=T_0\) ✓. Шкала нелинейна ✓, но при малых \(x\) почти линейна: \(T\approx T_0\left(1+\dfrac{4Sx}{2V_0+Sl}\right)\) ✓. Чувствительность тем выше, чем меньше \(V_0\) и тоньше трубка ✓ — но тогда сужается и диапазон. Предел: при \(2x\to l+2V_0/S\) знаменатель обращается в нуль ✓ — ртуть доходит до конца трубки, шкала кончается. Размерность ✓.Ответ \(T = T_0\dfrac{2V_0+S(l+2x)}{2V_0+S(l-2x)}\).Поршень между горячим и холодным
6/10Два сосуда вместимости 200 и 100 см³ разделены подвижным поршнем, не проводящим тепло. Сначала температура газа в сосудах 300 K, а его давление 1013 гПа, затем меньший сосуд охладили льдом до 273 K, а больший нагрели паром до 373 K. Какое давление установится?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Поршень подвижен, значит давление в обеих частях одинаково. Суммарный объём не меняется. Записываем \(PV=\nu RT\) для каждой части и складываем.Количества вещества (они не меняются):
\[ \nu_1 = \frac{PV_1}{RT}, \qquad \nu_2 = \frac{PV_2}{RT}. \]После: \(P'V_1' = \nu_1RT_1'\), \(P'V_2' = \nu_2RT_2'\). Складываем:
\[ P'\,(V_1'+V_2') = R\,(\nu_1T_1'+\nu_2T_2') = \frac{P}{T}\,(V_1T_1'+V_2T_2'), \]а \(V_1'+V_2' = V_1+V_2\):
\[ P' = P\,\frac{V_1T_1'+V_2T_2'}{T\,(V_1+V_2)} = 1013\cdot\frac{200\cdot373+100\cdot273}{300\cdot300}. \] \[ P' = 1013\cdot\frac{101\,900}{90\,000}, \qquad \boxed{P' \approx 1147\ \text{гПа}} \]Проверка. Ответ задачника 1146 гПа ✓. Давление выросло ✓ — «средневзвешенная» температура поднялась с 300 до \(101\,900/300 = 340\) К. Проверим объёмы: \(V_1' = \nu_1RT_1'/P' = (200/300)\cdot(373/1147)\cdot1013 = 220\) см³, \(V_2' = 80\) см³, сумма 300 ✓. Поршень сместился в сторону холодного сосуда ✓ — горячий газ «победил».Ответ \(P\approx1146\) гПа.Тяжёлый поршень
6/10В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжёлый поршень. Масса газа и его температура над поршнем и под ним одинаковы. Отношение объёма верхней части к объёму нижней равно 3. Каким будет это отношение, если температуру газа увеличить в два раза?
К задаче 5.5.18 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Давление снизу больше на \(mg/S\) — эта величина не меняется. А сумма объёмов постоянна: сосуд закрыт.Начало. Обозначим \(V_{\text{н}}=V\), тогда \(V_{\text{в}}=3V\). Одинаковые \(\nu\) и \(T\) дают \(P_{\text{в}}\cdot3V = P_{\text{н}}\cdot V\), то есть
\[ P_{\text{н}} = 3P_{\text{в}}, \qquad \frac{mg}{S} = P_{\text{н}}-P_{\text{в}} = 2P_{\text{в}} = \frac{2\nu RT}{3V}. \]После нагрева до \(2T\): пусть объёмы стали \(a\) (верх) и \(b\) (низ), \(a+b = 4V\). Из \(PV=\nu RT\):
\[ P_{\text{в}}' = \frac{2\nu RT}{a}, \qquad P_{\text{н}}' = \frac{2\nu RT}{b}, \qquad \frac{2\nu RT}{b}-\frac{2\nu RT}{a} = \frac{2\nu RT}{3V}. \] \[ \frac1b-\frac1a = \frac{1}{3V} \quad\Longrightarrow\quad 3V(a-b) = ab, \qquad a+b = 4V. \]Подставляя \(a = 4V-b\), получаем \(b^2-10Vb+12V^2=0\), откуда \(b = V(5-\sqrt{13}) = 1{,}39V\), \(a = 2{,}61V\):
\[ \boxed{\frac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}} = \frac{2{,}61}{1{,}39} \approx 1{,}9} \]Проверка. Отношение уменьшилось с 3 до 1,9 ✓ — при нагреве давления растут, а разность \(mg/S\) остаётся прежней, значит относительная разница давлений падает и поршень стремится к середине. Предел \(T\to\infty\): отношение \(\to1\) ✓ — вес поршня становится несущественным. Проверим корень: \(b=1{,}394V\), \(a=2{,}606V\); \(1/b-1/a = 0{,}7174-0{,}3837 = 0{,}3337 \approx 1/3\) ✓. Второй корень \(b = V(5+\sqrt{13}) = 8{,}6V > 4V\) — не годится ✓.Ответ \(V_{\text{в}}/V_{\text{н}} \approx 1{,}9\).Жидкость через трубку
6/10В цилиндрический сосуд высоты \(H\) через крышку вертикально вставлена немного не доходящая до дна тонкостенная трубка длины \(l\). Соединение герметично. В сосуд через трубку наливают жидкость. Найдите высоту уровня жидкости от дна сосуда, когда трубка заполняется жидкостью. Атмосферное давление \(P_0\), плотность жидкости \(\rho\).
К задаче 5.5.19 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Воздух в сосуде заперт и сжимается по закону Бойля. А давление этого воздуха связано с атмосферным через столб жидкости в трубке.Сжатие воздуха. Уровень поднялся до \(x\), воздуху осталось \(H-x\):
\[ P = P_0\,\frac{H}{H-x}. \]Столб в трубке. Трубка заполнена доверху (её верхний конец на высоте \(l\) от дна), сверху атмосфера. Идём вниз по жидкости от верха трубки до уровня \(x\):
\[ P = P_0+\rho g\,(l-x). \]Приравниваем:
\[ P_0 H = \big[P_0+\rho g(l-x)\big](H-x) \ \Longrightarrow\ x^2 - x\left(l+H+\frac{P_0}{\rho g}\right) + lH = 0, \] \[ \boxed{x = \frac12\left[\,l+H+\frac{P_0}{\rho g} - \sqrt{\left(l+H+\frac{P_0}{\rho g}\right)^2-4lH}\,\right]} \]Проверка. Берём меньший корень ✓ — больший превысил бы и \(H\), и \(l\). При \(P_0\to\infty\) (несжимаемый «жёсткий» воздух) \(x\to0\) ✓ — жидкость вовсе не входит. При \(P_0\to0\) уравнение даёт \(x^2-x(l+H)+lH=0\), корни \(x=l\) и \(x=H\); берём меньший ✓ — жидкость поднимается до нижнего из двух уровней. Размерность: все слагаемые — метры ✓. Числом: \(H=0{,}5\) м, \(l=1\) м, вода, \(P_0/\rho g = 10{,}2\) м: \(x = \tfrac12[11{,}7-\sqrt{136{,}9-2}] = \tfrac12[11{,}7-11{,}61] = 0{,}043\) м ✓ — всего 4 см: воздух почти не сжимается.Ответ \(x = \tfrac12\left[l+H+\dfrac{P_0}{\rho g}-\sqrt{\left(l+H+\dfrac{P_0}{\rho g}\right)^2-4lH}\right]\).Два поршня и жидкость
6/10В вертикальном цилиндрическом сосуде над поршнем \(A\) находится газ, закрытый поршнем \(B\), на который до верха цилиндра налита жидкость плотности \(\rho\). На какое расстояние \(x\) надо поднять поршень \(A\), чтобы над поршнем \(B\) остался столб жидкости высоты \(H\)? Массой поршня \(B\) и трением пренебречь. Атмосферное давление \(P_0\), начальная высота столба жидкости \(H_0\), столба газа \(h_0\). Температура не меняется.
К задаче 5.5.20 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Поршень \(B\) невесом, значит давление газа равно давлению жидкости на него сверху: \(P = P_0+\rho g h\), где \(h\) — высота столба жидкости. Дальше — закон Бойля.Давления. Вначале \(P_1 = P_0+\rho g H_0\), в конце \(P_2 = P_0+\rho gH\).
Объём газа. Поршень \(A\) поднялся на \(x\); жидкости стало меньше на \((H_0-H)\) — она перелилась через край. Поршень \(B\) поднялся до верха, значит высота газового столба
\[ h_2 = h_0 - x + (H_0-H). \]Закон Бойля \(P_1h_0 = P_2h_2\):
\[ (P_0+\rho gH_0)\,h_0 = (P_0+\rho gH)\,\big[h_0-x+(H_0-H)\big]. \]Решая относительно \(x\) и упрощая, получаем компактный ответ
\[ \boxed{x = (H_0-H)\left(1-\frac{\rho g h_0}{P_0+\rho gH}\right)} \]Проверка. При \(H=H_0\) получаем \(x=0\) ✓ — ничего не менялось. Подставим ответ обратно: \(h_2 = h_0+(H_0-H)\dfrac{\rho gh_0}{P_0+\rho gH} = h_0\dfrac{P_0+\rho gH_0}{P_0+\rho gH}\), и тогда \(P_2h_2 = (P_0+\rho gH_0)h_0 = P_1h_0\) ✓ — закон Бойля выполнен точно. Если \(\rho gh_0\) велико, \(x\) может стать отрицательным ✓ — тогда поршень \(A\) надо, наоборот, опускать: газ сам расширится настолько, что вытолкнет лишнюю жидкость. Размерность ✓.Ответ \(x = (H_0-H)\left[1-\dfrac{\rho gh_0}{P_0+\rho gH}\right]\).Стакан вверх дном
6/10На поверхности жидкости плотности \(\rho\) плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погружённый в жидкость.
а. На сколько погрузится стакан, если его поставить на поверхность вверх дном? Высота стакана \(h\), давление воздуха \(P_0\).
б. На какую глубину нужно погрузить перевёрнутый стакан, чтобы он вместе с заключённым в нём воздухом пошёл ко дну?
К задаче 5.5.21 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Перевёрнутый стакан плавает на «воздушной подушке». Вытесняет жидкость именно воздух, поэтому Архимед сразу говорит, насколько ниже наружного уровня стои́т вода внутри стакана. А закон Бойля показывает, насколько сжался воздух.Масса стакана. Плавая обычным образом, он погружён на \(h/2\), значит
\[ m = \rho S\,\frac h2, \qquad S — \text{площадь дна}. \]а. Где стои́т вода внутри. Стенки тонкие, поэтому вытесненный объём — это объём воздушной полости ниже наружного уровня. Если вода внутри стои́т на \(y\) ниже наружного уровня, то вытеснено \(Sy\), и
\[ \rho S y\,g = mg = \rho S\frac h2 g \quad\Longrightarrow\quad y = \frac h2. \]Давление воздуха равно давлению жидкости на этом уровне:
\[ P = P_0+\rho g\frac h2 = \frac{2P_0+\rho gh}{2}. \]Длина воздушного столба по закону Бойля \(P_0h = P\,a\):
\[ a = \frac{2P_0h}{2P_0+\rho gh}. \]Глубина погружения кромки. Кромка стакана ниже внутреннего уровня воды на \(h-a\), а сам внутренний уровень — на \(h/2\) ниже наружного:
\[ H = \frac h2+(h-a) = \frac{3h}{2}-\frac{2P_0h}{2P_0+\rho gh}, \] \[ \boxed{H = \frac h2\left(1+\frac{2\rho g h}{2P_0+\rho gh}\right)} \]б. Когда утонет. Стакан тонет, как только вытесненный объём (то есть объём воздуха) станет меньше \(Sh/2\), — а для этого воздух должен сжаться более чем вдвое, то есть его давление должно превысить \(2P_0\):
\[ P_0+\rho g\,d > 2P_0 \quad\Longrightarrow\quad d > \frac{P_0}{\rho g}, \]где \(d\) — глубина уровня воды внутри стакана. Кромка при этом ещё на \(h/2\) глубже (воздушный столб как раз \(h/2\)):
\[ \boxed{H = \frac h2+\frac{P_0}{\rho g}} \]Проверка. Пункт а при \(P_0\to\infty\) даёт \(H\to h/2\) ✓ — несжимаемый воздух, стакан сидит так же, как и в нормальном положении. При \(\rho gh\gg P_0\) выходит \(H\to3h/2>h\) ✓ — стакан уже целиком под водой, то есть в этом пределе он попросту тонет; согласуется с пунктом б. Пункт б для воды: \(P_0/(\rho g) = 10{,}2\) м ✓ — перевёрнутый стакан приходится топить более чем на десять метров. Это же объясняет, почему водолазный колокол устойчив у поверхности и «проваливается» на глубине ✓. Оба ответа — глубина кромки стакана ✓, и они согласованно переходят друг в друга.Ответ а. \(H = \dfrac h2\left(1+\dfrac{2\rho gh}{2P_0+\rho gh}\right)\). б. \(H = \dfrac h2+\dfrac{P_0}{\rho g}\).Задача 5.5.22
6/10В прямоугольном сосуде с непроницаемыми стенками находится слева тяжёлая жидкость (например, ртуть), отделённая подвижным тонким поршнем от воздуха в правой части сосуда. В начальный момент поршень находится в равновесии и делит объём сосуда пополам. На сколько сместится поршень вправо, если температура системы уменьшится в три раза? Тепловым расширением ртути и стенок пренебречь. Трения нет. Длина сосуда \(2a\).
К задаче 5.5.22 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Поршень вертикальный: газ давит на него равномерно, а ртуть — по гидростатике, тем сильнее, чем глубже. Когда поршень едет вправо, ртуть растекается по большей длине, её уровень падает, и давить она начинает слабее — именно это и позволяет остыть газу.Равновесие поршня. Пусть высота сосуда \(H\), ширина \(w\), ртуть занимает длину \(L\) и стои́т на высоту \(h_{\text{р}}\) (над ней — пустота: пары ртути ничтожны). Объём ртути не меняется: \(L\,h_{\text{р}} = a H\).
Сила ртути на поршень (треугольная эпюра давления): \(F_{\text{р}} = \rho g h_{\text{р}}^2 w/2\); сила газа \(F = P H w\). Отсюда
\[ P = \frac{\rho g\,h_{\text{р}}^2}{2H}. \]Начало: \(L=a\), \(h_{\text{р}}=H\), значит \(P_1 = \rho gH/2\).
После: поршень сместился на \(x\) вправо, \(L=a+x\), \(h_{\text{р}} = aH/(a+x)\):
\[ P_2 = \frac{\rho g}{2H}\cdot\frac{a^2H^2}{(a+x)^2} = \frac{\rho g\,a^2H}{2(a+x)^2}. \]Газ: объём был \(aHw\), стал \((a-x)Hw\); температура упала втрое:
\[ \frac{P_1\,a}{T} = \frac{P_2\,(a-x)}{T/3} \ \Longrightarrow\ P_1a = 3P_2(a-x). \]Подставляя, получаем \(a = \dfrac{3a^2(a-x)}{(a+x)^2}\), то есть
\[ (a+x)^2 = 3a\,(a-x) \ \Longrightarrow\ x^2+5ax-2a^2 = 0, \] \[ \boxed{x = \frac{a\left(\sqrt{33}-5\right)}{2} \approx 0{,}37\,a} \]Проверка. Подставим \(x=0{,}3723a\): \((a+x)^2 = 1{,}885a^2\); \(3a(a-x)=1{,}883a^2\) ✓. Газ сжался в \(a/(a-x)=1{,}59\) раза при охлаждении втрое, значит давление упало в \(3/1{,}59=1{,}88\) раза ✓; и правда \(P_1/P_2 = (a+x)^2/a^2 = 1{,}885\) ✓. Поршень поехал в сторону газа ✓ — охлаждённый газ уступил. Ни \(\rho\), ни \(H\) в ответ не вошли ✓ — красиво. Второй корень отрицателен и по модулю больше \(a\) ✓ — не годится.Ответ \(x = a(\sqrt{33}-5)/2\approx0{,}37a\).Задача 5.5.23
6/10Герметически закрытый бак заполнен жидкостью так, что на дне его имеется пузырёк воздуха. Давление на дно бака \(P_0\). Каким оно станет, если пузырёк всплывёт? Высота бака \(H\), плотность жидкости \(\rho\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Жидкость несжимаема, стенки жёсткие — значит объём пузырька не может измениться. А раз объём тот же, то и давление в нём то же самое.Объём фиксирован. Полный объём бака постоянен, объём жидкости постоянен, значит объём пузырька постоянен. По закону Бойля его давление тоже не меняется:
\[ P_{\text{пуз}} = P_0 \quad\text{(и внизу, и наверху)}. \]Давление на дно. Когда пузырёк наверху, его давление \(P_0\) — это давление у крышки; спускаясь на \(H\), прибавляем гидростатику:
\[ \boxed{P = P_0 + \rho g H} \]Проверка. Неожиданно, но верно: всплывание пузырька повышает давление на дно ✓ — жидкость «навалилась» на дно, а её опорой стал не сжимаемый пузырёк, а жёсткая крышка. Проверка энергией: пузырёк поднялся, жидкость опустилась — центр тяжести системы понизился; давление на дно выросло ✓, всё согласовано. При \(H\to0\) ничего не меняется ✓. Существенны и герметичность, и несжимаемость ✓: в открытом баке давление на дно осталось бы прежним.Ответ \(P = P_0+\rho gH\).Задача 5.5.24
6/10Герметически закрытый бак высоты 3 м заполнен водой так, что на дне находятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно 0,15 МПа. Каким станет давление, если всплывёт один пузырёк? два пузырька?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Суммарный объём газа фиксирован (вода несжимаема), но между двумя пузырьками он теперь перераспределяется: верхний в области меньшего давления раздувается, нижний сжимается.Гидростатический перепад: \(\rho gH = 10^3\cdot9{,}8\cdot3 = 0{,}0294\) МПа.
Один всплыл. Пусть \(P_{\text{в}}\) — давление у крышки, тогда на дне \(P_{\text{н}} = P_{\text{в}}+\rho gH\). Объёмы по Бойлю: \(V_{\text{в}} = P_0V/P_{\text{в}}\), \(V_{\text{н}} = P_0V/P_{\text{н}}\), а сумма равна \(2V\):
\[ \frac{1}{P_{\text{в}}}+\frac{1}{P_{\text{в}}+\rho gH} = \frac{2}{P_0}. \]Численно (в МПа): \(1/p + 1/(p+0{,}0294) = 13{,}33\), откуда \(p = 0{,}1367\) МПа и
\[ \boxed{P_1 = p+\rho gH = 0{,}166 \approx 0{,}17\ \text{МПа}} \]Оба всплыли. Они одинаковы и оба у крышки, суммарный объём \(2V\) не изменился, значит и давление в них прежнее \(P_0\):
\[ \boxed{P_2 = P_0+\rho gH = 0{,}15+0{,}0294 \approx 0{,}18\ \text{МПа}} \]Проверка. Второй случай — это в точности задача 5.5.23 ✓. Промежуточный случай даёт промежуточный ответ: \(0{,}15<0{,}166<0{,}179\) ✓. Проверим объёмы в первом случае: \(V_{\text{в}} = 0{,}15V/0{,}1367 = 1{,}097V\), \(V_{\text{н}} = 0{,}15V/0{,}166 = 0{,}903V\), сумма \(2{,}00V\) ✓. Физика проста: чем больше газа «переехало» наверх, тем сильнее вода давит на дно ✓.Ответ \(P_1\approx0{,}17\) МПа, \(P_2\approx0{,}18\) МПа.Формула соединения
6/10Найдите формулу соединения азота с кислородом, если 1 г его в газообразном состоянии в объёме 1 л создаёт при температуре 17 °C давление 0,314 атм.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Из \(PV=\dfrac mM RT\) находим молярную массу, а по ней подбираем формулу \(\mathrm{N}_x\mathrm{O}_y\).\[ M = \frac{mRT}{PV} = \frac{10^{-3}\cdot8{,}31\cdot290}{0{,}314\cdot1{,}013\cdot10^{5}\cdot10^{-3}} = \frac{2{,}41}{31{,}8}\ \frac{\text{кг}}{\text{моль}}, \] \[ M \approx 0{,}0758\ \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 76\ \frac{\text{г}}{\text{моль}}. \]Подбор. \(14x+16y=76\): при \(x=2,\ y=3\) получаем \(28+48=76\) ✓.
\[ \boxed{\mathrm{N_2O_3}} \]Проверка. Другие варианты: \(x=1\) даёт \(16y=62\) — не целое ✓ отпадает; \(x=3\) даёт \(16y=34\) — тоже ✓ отпадает. Для сравнения: NO — 30, NO₂ — 46, N₂O — 44, N₂O₄ — 92, N₂O₅ — 108 ✓; из известных оксидов азота ровно 76 у N₂O₃ ✓. Размерность и порядок ✓: 0,0132 моль вещества в литре при 0,3 атм — разумно.Ответ \(\mathrm{N_2O_3}\).Задача 5.5.26
6/10Чтобы измерить массу воды в капельках тумана, пробу воздуха при давлении 100 кПа и температуре 0 °C герметически закрывают в сосуде, нагревают до температуры, при которой туман исчезает, и измеряют давление. Оцените массу тумана в 1 м³ пробы, если температура исчезновения тумана 82 °C, давление при этой температуре 180 кПа.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сухой воздух — «свидетель»: его парциальное давление меняется только по изохоре. Всё остальное давление в конце — это водяной пар, то есть испарившийся туман.Воздух. При 0 °C давление насыщенного пара всего 0,6 кПа, поэтому воздуха \(\approx99{,}4\) кПа. При 355 К (изохора):
\[ P_{\text{возд}} = 99{,}4\cdot\frac{355}{273} \approx 129\ \text{кПа}. \]Пар в конце:
\[ P_{\text{пар}} = 180-129 \approx 51\ \text{кПа}. \]Масса воды в 1 м³:
\[ m = \frac{P_{\text{пар}}V\mu}{RT} = \frac{5{,}1\cdot10^{4}\cdot1\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot355} \approx 0{,}31\ \text{кг}. \]Из них \(\approx5\) г было паром уже вначале, значит на туман приходится
\[ \boxed{m_{\text{тум}} \approx 0{,}3\ \text{кг/м}^3} \]Проверка. Замечательная сходимость: давление насыщенного пара воды при 82 °C равно 51 кПа ✓ — ровно столько и получилось. Значит момент «исчезновения тумана» найден правильно, и расчёт самосогласован. В ответах задачника указано 210 г/м³ \((0{,}21\) кг/м³\()\) — тот же порядок ✓, расхождение связано с тем, учтён ли начальный пар и какое значение взято для \(P_{\text{нас}}(0\,{}^\circ\text{C})\). Физическая оговорка: 300 г воды в кубометре — это не туман, а почти ливень ✓; настоящий густой туман содержит доли грамма на кубометр. Задача демонстрирует метод, а не реальные числа.Ответ \(m\approx0{,}2\ldots0{,}3\) кг на кубометр.Гелий или водород
6/10Во сколько раз изменится подъёмная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки пренебречь. Молярная масса воздуха 29 г/моль.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Подъёмная сила — вес вытесненного воздуха минус вес газа: при одинаковых \(V\), \(P\), \(T\) она пропорциональна разности молярных масс.\[ F \propto \mu_{\text{возд}}-\mu_{\text{газ}}, \qquad \frac{F_{\text{He}}}{F_{\text{H}_2}} = \frac{29-4}{29-2} = \frac{25}{27}. \] \[ \boxed{F_{\text{He}}/F_{\text{H}_2} = 25/27 \approx 0{,}93} \]Проверка. Водород выигрывает всего 8 % ✓ — при вдвое меньшей плотности! Причина: главный вклад даёт вытесненный воздух, а вес самого газа мал. Именно поэтому от водорода в дирижаблях отказались ✓: выигрыш крошечный, а риск взрыва огромный. Предельный случай — вакуумный шар: \(F\propto29\), то есть всего на 7 % больше водородного ✓. Ответ безразмерен ✓.Ответ \(F_{\text{He}}/F_{\text{H}_2}=25/27\).Стратостат
6/10Водород заполняет только верхнюю часть оболочки стратостата. В нижней части находится воздух, свободно проникающий в оболочку через отверстие снизу. При какой наибольшей массе стратостат станет подниматься, если масса водорода в оболочке равна \(m\)?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Воздух внутри нижней части ничего не даёт: он такой же, как снаружи. Работает только водород, который вытесняет воздух своего объёма.Объём водорода \(V = \dfrac{m}{\mu_{\text{H}_2}}\dfrac{RT}{P}\); вытесненный воздух весит
\[ \rho_{\text{возд}}Vg = \frac{\mu_{\text{возд}}P}{RT}\cdot \frac{mRT}{\mu_{\text{H}_2}P}\,g = m g\,\frac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{H}_2}}. \]Подъёмная сила равна этому минус вес самого водорода:
\[ F = mg\left(\frac{29}{2}-1\right) = 13{,}5\,mg, \qquad \boxed{M_{\max} = 13{,}5\,m} \]Проверка. Ответ не зависит ни от высоты, ни от температуры ✓ — прямое следствие задачи 5.5.13. Один килограмм водорода поднимает 13,5 кг груза ✓ — знакомая «грузоподъёмность» аэростата (для гелия было бы \(29/4-1 = 6{,}25\)). Условие «воздух свободно проникает» существенно ✓: оно означает, что давление внутри равно наружному и оболочка не работает как сосуд под давлением.Ответ \(M = 13{,}5\,m\).Минимальный радиус шара
6/10При каком наименьшем радиусе станет подниматься воздушный шар, наполненный гелием, если поверхностная плотность материала оболочки 50 г/м², давление воздуха \(10^5\) Па, а температура 27 °C?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Подъёмная сила растёт как \(r^3\), а вес оболочки — как \(r^2\). Значит есть критический радиус, ниже которого шар не полетит.Плотности при \(P=10^5\) Па, \(T=300\) К:
\[ \rho_{\text{возд}} = \frac{P\mu}{RT} = \frac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot300} = 1{,}163\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}, \qquad \rho_{\text{He}} = 0{,}160\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \]Условие подъёма:
\[ (\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\,\frac43\pi r^3 \ge \sigma_{\text{пов}}\,4\pi r^2 \ \Longrightarrow\ r \ge \frac{3\sigma_{\text{пов}}}{\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}}. \] \[ r \ge \frac{3\cdot0{,}05}{1{,}003} \approx 0{,}15\ \text{м}, \qquad \boxed{r_{\min} \approx 15\ \text{см}} \]Проверка. Масса оболочки при \(r=15\) см: \(0{,}05\cdot4\pi\cdot0{,}0225 = 14{,}1\) г; подъёмная сила \(1{,}003\cdot\tfrac43\pi\cdot0{,}003375 = 14{,}2\) г ✓ — сходится. Знакомый факт: маленькие шарики из плотной резины не летают ✓, а большие — да. Зависимость \(r_{\min}\propto\sigma_{\text{пов}}\) ✓: вдвое более тонкая плёнка вдвое уменьшает критический радиус. Размерность: (кг/м²)/(кг/м³) = м ✓.Ответ \(r\approx15\) см.Тепловой аэростат
6/10Воздух внутри оболочки воздушного шара вместимости \(V\) нагревается газовой горелкой до температуры \(T\), превышающей температуру \(T_0\) окружающего воздуха. Какова при атмосферном давлении \(P_0\) грузоподъёмность этого шара? Молярная масса воздуха \(\mu\).
К задаче 5.5.30 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Оболочка открыта снизу, поэтому давление внутри равно наружному. Разность плотностей — только за счёт температуры.\[ m = (\rho_0-\rho)\,V = \frac{\mu P_0}{R}\left(\frac1{T_0}-\frac1T\right)V, \] \[ \boxed{m = \frac{\mu P_0 V\,(T-T_0)}{R\,T\,T_0}} \]Проверка. При \(T=T_0\) грузоподъёмность нулевая ✓; при \(T\to\infty\) она стремится к \(\mu P_0V/(RT_0) = \rho_0V\) ✓ — весу всего вытесненного воздуха, как у вакуумного шара. Числом: \(V = 2000\) м³, \(T_0=290\) К, \(T=390\) К: \(m = 0{,}029\cdot10^5\cdot2000\cdot100/(8{,}31\cdot390\cdot290) = 617\) кг ✓ — реалистичная грузоподъёмность теплового аэростата. Размерность ✓. Нагревать сильнее 400 К нельзя ✓ — ткань не выдержит, отсюда и типичные объёмы в тысячи кубометров.Ответ \(m = \mu P_0V(T-T_0)/(RTT_0)\).Зонд на Венере
6/10Атмосфера Венеры почти полностью состоит из углекислого газа. Температура у поверхности около 500 °C, давление примерно 100 атм. Какой объём должен иметь исследовательский зонд массы 1 т, чтобы плавать в нижних слоях атмосферы Венеры?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Плавать — значит вытеснять массу газа, равную своей. Считаем плотность венерианского воздуха и делим.\[ \rho = \frac{P\mu}{RT} = \frac{100\cdot1{,}013\cdot10^{5}\cdot0{,}044}{8{,}31\cdot773} = \frac{4{,}46\cdot10^{5}}{6424} \approx 69\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \] \[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{1000}{69}, \qquad \boxed{V \approx 15\ \text{м}^3} \]Проверка. 69 кг/м³ — это в 55 раз плотнее земного воздуха и лишь в 15 раз реже воды ✓; у поверхности Венеры газ ведёт себя почти как жидкость. Шар объёмом 15 м³ имеет радиус 1,5 м ✓ — вполне реальный аппарат. На Земле для той же массы понадобилось бы 860 м³ ✓ — вот почему аэростаты на Венере гораздо практичнее. Размерность ✓.Ответ \(V\approx15\) м³.Задача 5.5.32
6/10При комнатной температуре четырёхокись азота частично диссоциирует: \(\mathrm{N_2O_4}\rightleftarrows2\mathrm{NO_2}\). В откачанный сосуд вместимости 250 см³ вводится 0,92 г жидкости \(\mathrm{N_2O_4}\) при 0 °C. Когда температура увеличивается до 27 °C, жидкость целиком испаряется, а давление становится равным 128 кПа. Определите долю четырёхокиси азота, которая диссоциировала.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Диссоциация увеличивает число молекул: из одной \(\mathrm{N_2O_4}\) получаются две \(\mathrm{NO_2}\). Сравнив измеренное число молей с исходным, найдём долю.Исходно: \(\nu_0 = 0{,}92/92 = 0{,}01\) моль.
После диссоциации доли \(\alpha\):
\[ \nu = \nu_0(1-\alpha)+2\nu_0\alpha = \nu_0\,(1+\alpha). \]Из уравнения состояния:
\[ \nu = \frac{PV}{RT} = \frac{1{,}28\cdot10^{5}\cdot2{,}5\cdot10^{-4}}{8{,}31\cdot300} = \frac{32}{2493} = 0{,}01284\ \text{моль}. \] \[ 1+\alpha = \frac{0{,}01284}{0{,}01} = 1{,}284, \qquad \boxed{\alpha \approx 0{,}28} \]Проверка. 28 % — правдоподобная степень диссоциации \(\mathrm{N_2O_4}\) при комнатной температуре ✓ (справочное значение при 27 °C и 1 атм — около 20 %). Средняя молярная масса смеси \(0{,}92/0{,}01284 = 71{,}6\) г/моль ✓ — между 92 и 46, как и положено. Ответ безразмерен и лежит между 0 и 1 ✓. Проверка: при \(\alpha=0\) давление было бы \(0{,}01\cdot8{,}31\cdot300/2{,}5\cdot10^{-4} = 99{,}7\) кПа ✓ — меньше измеренного, значит диссоциация действительно есть.Ответ \(\alpha\approx0{,}28\).Мыльный пузырь с горячим воздухом
6/10Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное давление \(P_0\) и температура \(T_0\). Плотность мыльной плёнки \(\rho\), её толщина \(\delta\), радиус пузыря \(r\). Найдите температуру воздуха внутри, если поверхностное натяжение мыльной воды \(\sigma\). Молярная масса воздуха \(\mu\).
К задаче 5.5.33 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Три вклада: выталкивающая сила (по наружному воздуху), вес плёнки и вес горячего воздуха внутри. Не забыть, что внутри давление больше на \(4\sigma/r\) (у пузыря две поверхности).Условие равновесия (делим всё на \(\tfrac43\pi r^3 g\)):
\[ \rho_{\text{нар}} = \frac{3\delta\rho}{r} + \rho_{\text{вн}}, \]где \(4\pi r^2\delta\rho\big/\big(\tfrac43\pi r^3\big) = 3\delta\rho/r\) — «размазанная» плотность плёнки.
Плотности газа:
\[ \rho_{\text{нар}} = \frac{P_0\mu}{RT_0}, \qquad \rho_{\text{вн}} = \frac{\mu}{RT}\left(P_0+\frac{4\sigma}{r}\right). \]Подставляем и решаем относительно \(T\):
\[ \frac{\mu\,(P_0r+4\sigma)}{rRT} = \frac{P_0\mu}{RT_0}-\frac{3\delta\rho}{r}, \] \[ \boxed{T = \frac{T_0\,\mu\,(P_0r+4\sigma)}{\mu P_0 r - 3\delta\rho R T_0}} \]Проверка. Если плёнка невесома \((\delta\to0)\) и \(\sigma\to0\), получаем \(T=T_0\) ✓ — висеть может и холодный пузырь. Знаменатель обращается в нуль при \(\delta = \mu P_0r/(3\rho RT_0) = \rho_{\text{возд}}r/(3\rho)\) ✓ — слишком толстая плёнка не даст пузырю висеть ни при какой температуре. Для \(r=5\) см это \(\delta\approx20\) мкм ✓, а реальные плёнки в сотни раз тоньше — запас есть. Числом: \(r=5\) см, \(\delta=1\) мкм, \(\rho=10^3\), \(T_0=300\) К: \(3\delta\rho RT_0 = 7{,}5\); \(\mu P_0r = 145\); \(4\sigma = 0{,}16\) — получаем \(T\approx317\) К ✓, то есть нагреть надо всего на 17 градусов. Все размерности сходятся ✓.Ответ \(T = T_0\mu(P_0r+4\sigma)\big/\big(\mu P_0r-3\delta\rho RT_0\big)\).Слияние пузырей
6/10Два мыльных пузыря радиуса \(r_1\) и \(r_2\) сливаются в один. Найдите поверхностное натяжение мыльной воды, если радиус образовавшегося пузыря равен \(r\), а атмосферное давление равно \(P_0\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сохраняется количество воздуха. Записываем \(PV\) для каждого пузыря, помня, что \(P_i = P_0+4\sigma/r_i\).\[ \left(P_0+\frac{4\sigma}{r_1}\right)\frac43\pi r_1^3 +\left(P_0+\frac{4\sigma}{r_2}\right)\frac43\pi r_2^3 =\left(P_0+\frac{4\sigma}{r}\right)\frac43\pi r^3. \]Сокращая \(\tfrac43\pi\) и раскрывая скобки:
\[ P_0\,(r_1^3+r_2^3) + 4\sigma\,(r_1^2+r_2^2) = P_0 r^3 + 4\sigma r^2, \] \[ \boxed{\sigma = \frac{P_0}{4}\cdot\frac{r_1^3+r_2^3-r^3}{r^2-r_1^2-r_2^2}} \]Проверка. Если \(\sigma=0\), то \(r^3 = r_1^3+r_2^3\) ✓ — просто сложение объёмов. При реальном \(\sigma>0\) объём слегка уменьшается по сравнению с суммой \((r^3<r_1^3+r_2^3)\), потому что площадь стала меньше и лапласовское давление — тоже… — знаки в числителе и знаменателе согласованы ✓: оба выражения одного знака. Размерность: Па·м³/м² = Па·м = Н/м ✓. Числом: \(r_1=r_2=1\) см, вода мыльная \(\sigma=0{,}04\) Н/м, \(P_0=10^5\) Па: из формулы \(r\approx1{,}2599\) см \((2^{1/3})\) с поправкой порядка \(10^{-5}\) ✓ — эффект крошечный, поэтому в опыте \(\sigma\) так измерять трудно.Ответ \(\sigma = \dfrac{P_0}{4}\dfrac{r_1^3+r_2^3-r^3}{r^2-r_1^2-r_2^2}\).Колебания поршня
6/10Найдите период малых колебаний поршня массы \(m\), разделяющего гладкий цилиндрический сосуд сечения \(S\) на две части длины \(l\) каждая. По обе стороны от поршня находится газ при давлении \(P_0\) и температуре \(T_0\). При колебании поршня температура газа не меняется.
К задаче 5.5.35 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сдвиньте поршень на \(x\): с одной стороны газ сжался, с другой расширился. Разность давлений линейна по \(x\) — значит это «пружинка», и колебания гармонические.Давления (изотерма, \(x\ll l\)):
\[ P_{1} = P_0\frac{l}{l-x} \approx P_0\left(1+\frac xl\right), \qquad P_{2} = P_0\frac{l}{l+x} \approx P_0\left(1-\frac xl\right). \]Возвращающая сила:
\[ F = -(P_1-P_2)S = -\frac{2P_0S}{l}\,x \ \Longrightarrow\ k_{\text{эфф}} = \frac{2P_0S}{l}. \] \[ \boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{эфф}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m\,l}{2P_0S}}} \]Проверка. Размерность: \(\sqrt{\text{кг}\cdot\text{м}/(\text{Па}\cdot\text{м}^2)} = \sqrt{\text{кг}\cdot\text{м}/\text{Н}} = \) с ✓. Чем длиннее сосуд, тем «мягче» газовая пружина и тем больше период ✓. Если бы колебания были быстрыми (адиабатическими), жёсткость выросла бы в \(\gamma\) раз и период уменьшился в \(\sqrt\gamma\) ✓ — это классический опыт Клемана и Дезорма по измерению \(\gamma\). Числом: \(m=0{,}1\) кг, \(l=0{,}2\) м, \(S=10\) см², \(P_0=10^5\) Па: \(T=2\pi\sqrt{0{,}02/200}=0{,}063\) с ✓ — около 16 Гц. Температура в ответ не вошла ✓ — она спрятана в \(P_0\).Ответ \(T = 2\pi\sqrt{ml/(2P_0S)}\).Цикл на PV-диаграмме
6/10Один моль газа участвует в процессе, график которого изображён на \(P,V\)-диаграмме. Участки 1–2 и 3–4 — отрезки прямых, продолжения которых проходят через начало координат, а кривые 1–4 и 2–3 — изотермы. Нарисуйте график этого процесса на \(T,V\)-диаграмме. Найдите объём \(V_3\), если известны объёмы \(V_1\) и \(V_2=V_4\).
К задаче 5.5.36 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Прямая через начало координат — это \(P = cV\), то есть \(T = PV/R = cV^2/R\): на \(T,V\)-диаграмме это парабола. Изотерма — горизонтальная прямая. Остаётся аккуратно пройти цикл.Что происходит с температурой.
1→2 по прямой через начало: \(T\propto V^2\), значит \(\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^2\);
2→3 изотерма: \(T_3 = T_2\);
3→4 по прямой через начало: \(\dfrac{T_4}{T_3} = \left(\dfrac{V_4}{V_3}\right)^2\);
4→1 изотерма: \(T_4 = T_1\).
Замыкаем цикл:
\[ T_1 = T_4 = T_3\left(\frac{V_4}{V_3}\right)^2 = T_2\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^2 = T_1\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^2, \] \[ 1 = \left(\frac{V_2^2}{V_1V_3}\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{V_3 = \frac{V_2^2}{V_1}} \]График в осях \(T,V\): два участка параболы \(T = \text{const}\cdot V^2\) (проходящие, соответственно, через точки 1, 2 и через точки 3, 4) и два горизонтальных отрезка (изотермы 2–3 и 4–1). Получается «криволинейный четырёхугольник» с двумя параболическими и двумя горизонтальными сторонами.
Проверка. \(V_1, V_2, V_3\) образуют геометрическую прогрессию ✓ — красиво и легко запоминается. Так как \(V_2>V_1\), получаем \(V_3>V_2\) ✓ — цикл расширяется вправо. Числом: \(V_1=1\), \(V_2=V_4=2\) даёт \(V_3=4\) ✓; тогда \(T_2/T_1 = 4\) и \(T_4/T_3 = (2/4)^2 = 1/4\) ✓ — цикл замкнулся. Проверка через \(P\): на прямой 1–2 \(P_2/P_1 = V_2/V_1 = 2\); на изотерме 2–3 \(P_3 = P_2V_2/V_3 = P_2/2\); на прямой 3–4 \(P_4/P_3 = V_4/V_3 = 1/2\); на изотерме 4–1 \(P_1 = P_4V_4/V_1 = P_4\cdot2\) — подставляя, получаем тождество ✓.Ответ \(V_3 = V_2^2/V_1\); в осях \(T,V\) — две параболы \(T\propto V^2\) и две горизонтальные изотермы.Баллон на платформе
6/10Тележка установлена на горизонтальных прямолинейных рельсах и может двигаться по ним без сопротивления. На тележке закреплён сосуд цилиндрической формы, ось которого параллельна рельсам. Длина цилиндра и его радиус равны \(L\) и \(r\) соответственно. Масса тележки с пустым сосудом равна \(M\). Сосуд заполняют идеальным газом массой \(m\) при температуре \(T_0\). Одно основание сосуда поддерживают при температуре \(T_0\). Температура другого основания в начальный момент также равна \(T_0\), но затем её медленно увеличивают до величины \(T_0 + \Delta T\) (при этом известно, что \(\Delta T \ll T_0\)). Боковая поверхность сосуда теплоизолирована.
Введём ось \(OX\), направив её вдоль оси цилиндра от основания с температурой \(T_0 + \Delta T\) к основанию с температурой \(T_0\). Пусть начало координат совпадает с основанием цилиндра с температурой \(T_0 + \Delta T\). Задачу решайте приближённо, пренебрегая всеми слагаемыми, пропорциональными квадрату малого параметра \(\delta T = \dfrac{\Delta T}{T}\) и его старшим степеням. Можно использовать приближённую формулу \((1+x)^n \approx 1 + nx\), справедливую при малых \(x\) (\(|x| \ll 1\)).
[a)] Определите зависимость плотности газа в цилиндре от координаты \(\rho(x)\).
[b)] Найдите смещение тележки \(d\) относительно начального положения.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление газа в медленном процессе одинаково по всему объёму, а температура вдоль цилиндра меняется линейно. Внешних горизонтальных сил нет — что можно сказать о центре масс системы?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответa) \(\rho(x) = \dfrac{m}{\pi r^2 L}\left(1 + \dfrac{2x - L}{2L}\,\delta T\right)\); b) \(d = \dfrac{m}{M+m}\cdot\dfrac{L}{12}\,\delta T\).
Газ из баллона
2/10Уравнение состояния для газа в баллоне до и после выпуска (по давлению, массам и температурам) или при заполнении шариков через редуктор при комнатной температуре: из pV = νRT и сохранения числа молей находят долю газа, число шариков или разность давлений. (варианты 5–8, условия по билетам заметно различаются)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две колбы с газом при разной температуре
2/10Количество газа в двух соединённых колбах сохраняется, давление общее; из уравнения состояния для нагретой и холодной колб находится новое давление (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два баллона и нагрев одного из них
2/10Баллоны соединены трубкой, давление выравнивается; при нагреве первого число молекул в нём уменьшается, доля находится из pV=νRT.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Проветривание комнаты
3/10Плотность воздуха обратно пропорциональна абсолютной температуре; сравниваем массы воздуха в комнате при 27 и 10 °C.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарики из баллона с гелием
3/10Из уравнения состояния изменение количества гелия в баллоне при изотермическом процессе делят на количество газа в одном шарике.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газированная вода в бутылке
3/10По давлению и объёму газовой подушки из уравнения Менделеева — Клапейрона находят массу газа в бутылке, остальной углекислый газ растворён в воде. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Три сосуда и краны
4/10Воздух равномерно занимает весь доступный объём, поэтому масса в сосудах пропорциональна объёмам; по двум данным отношениям найти объёмы B и C через A и массу в C при трёх открытых кранах.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Откачка азота из сосуда
4/10Азот откачивают при постоянной температуре, пока давление не упадёт втрое; найти массу откачанного и теплоту для поддержания температуры (данные о фазах — лишние).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Процесс с идеальным газом
5/10Процесс задан графиком ρ(T); выразить давление p = ρRT/μ через T, найти его максимум и температуру, при которой давление на 25% ниже.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Монотонный процесс
5/10Линейный процесс p(V) от (V1,p1) до (V2,0,75p1): температура T~pV — парабола по V, монотонна, если вершина параболы не попадает внутрь отрезка — найти допустимые V2.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газировка
5/10С помощью шприца определить давление в бутылке газировки и проверить закон Генри в трёх точках по давлению, сравнив найденный коэффициент растворимости с табличным.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газировка (II)
5/10Убедиться, что трение поршня шприца мало, определить давление газа в бутылке газировки и коэффициент растворимости CO2 в воде по закону Генри.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сильная точка
5/10Процесс идеального газа в координатах V/V0, T/T0 — дуга окружности; изобары — прямые из начала координат, максимум давления — касательная из начала к дуге (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Три сосуда, краны и воздух
5/10Последовательно открывают краны в откачанной системе сосудов; по массам воздуха при разных стадиях найти объёмы и массу воздуха в каждом сосуде при открытии всех кранов (давление выравнивается).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Избыточное давление
6/10Измерить избыточное давление в надутом шарике (d≈25 см) по неоднородному стержню-рычагу и бумаге как грузам, исключив влияние конденсата паров воды; оценить объём и погрешности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Избыточное давление
6/10Измерить избыточное давление в надутом шарике (d≈25 см) с помощью стержня-рычага и бумаги как грузов, учесть конденсат; оценить объём, погрешности и усреднить повторы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Диссоциация
6/10Два одинаковых цикла в координатах (ρ,p), один для O2, другой для частично диссоциировавшего кислорода; по графику и отношению максимальных температур найти степень диссоциации и отношение минимальных температур.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сосуд Мариотта
6/10Герметичный сосуд с вертикальной трубкой, через которую входят пузырьки воздуха при вытекании воды с постоянным расходом; по уравнению состояния найти массу воздуха над водой и скорость её изменения в начале и далее (давление над водой устанавливается равным p0 на уровне конца трубки).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Термодинамический чёрный ящик
6/10Найти число молей воздуха в запаянном пакете внутри закрытой бутылки с двумя трубками: через шприц менять объём воздуха в бутылке и по изменению объёма пакета (уравнение состояния, изотермическое сжатие) определить количество газа.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вода просачивается через поршень
6/10Вода протекает вниз, воздух вверх при постоянной температуре; закон Бойля–Мариотта для воздуха над и под поршнем плюс давление слоя воды дают давление после просачивания.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Кислород и водород под поршнем
3/10В сосуде под поршнем находится некоторая масса кислорода при температуре \(2T\). В него закачивают ещё такую же массу водорода, а температуру понижают до \(T\). Найдите, во сколько раз изменился объём содержимого под поршнем. Газы считать идеальными. Молярная масса кислорода 32 г/моль, водорода 2 г/моль.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление под поршнем в обоих состояниях одинаково. Запишите уравнение состояния для начального и конечного состояний и разделите одно на другое.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\mu_1}{\mu_2}\right) = 8{,}5\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗапишем два уравнения состояния для начального состояния и для конечного: \[pV_1 = \frac{m}{\mu_1}R\cdot 2T, \qquad pV_2 = \left(\frac{m}{\mu_1} + \frac{m}{\mu_2}\right)R\cdot T .\] Разделив одно уравнение на другое, получаем \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\dfrac{1}{\mu_1} + \dfrac{1}{\mu_2}}{\dfrac{2}{\mu_1}} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\mu_1}{\mu_2}\right) = 8{,}5 .\]
Плавающий корабль в тяжёлом газе (молярная масса)
4/10В интернете сейчас можно легко найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого:
Группа студентов напускает в большое корыто до краев какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладет на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает, как настоящий «летучий голландец»! Потом студенты зачерпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет.
Найдите, какой минимальной молярной массой \(M\) должен обладать этот тяжелый газ, чтобы в нем мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной \(h = 25\) мкм. Размеры «корабля»: длина \(a = 50\) см, ширина \(b = 20\) см, высота бортов \(c = 10\) см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия \(\rho_{\text{Al}} = 2{,}7\) г/см\(^3\), плотность воздуха при данных условиях равна \(\rho_{\text{в}} = 1{,}3\) кг/м\(^3\), средняя молярная масса воздуха \(M_{\text{в}} = 29\) г/моль.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУсловие плавания: вес фольги и воздуха внутри «корабля» не больше архимедовой силы со стороны тяжёлого газа. Плотности газов при одинаковых \(p\) и \(T\) пропорциональны молярным массам.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(M \geq \dfrac{\left([2(a+b)c + ab]\,h\rho_{\text{Al}} + abc\rho_{\text{в}}\right) M_{\text{в}}}{abc\rho_{\text{в}}} \approx 65\) г/моль.
Цикл гелия в координатах p–ρ
4/10С одним молем гелия проводят циклический процесс 1-2-3-4-1, показанный на рисунке в координатах «давление–плотность» (\(p\) – \(\rho\)). Найдите, какую работу совершил газ за цикл. Ответ выразите в Дж.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите объём моля через плотность и молярную массу, \(V = M/\rho\), и перейдите к координатам \(p\)–\(V\); работа за цикл равна площади цикла.
Смесь водорода и кислорода
5/10В баллоне объёмом \(V = 60\) л содержится смесь водорода и кислорода общей массой \(m = 60\) г. Температура смеси \(t = 27\,^\circ\text{C}\), давление \(p = 3{,}3\cdot 10^5\) Па. Какая масса \(m_0\) воды образуется из этой смеси, если дать возможность водороду соединиться с кислородом?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПо уравнению состояния и общей массе найдите массы обоих газов (через число молей); затем учтите, что вода образуется в пропорции \(2\text{H}_2 + \text{O}_2 \to 2\text{H}_2\text{O}\), и определите, какой газ в недостатке.
Гелий в колонне
5/10В вертикальной герметичной колонне высотой \(H = 8\) м с гладкими стенками находится в равновесии горизонтальный поршень. В пространстве над поршнем и под ним находится по одному молю гелия с температурой \(T = 294\) К. Масса поршня \(m \approx 83{,}1\) кг. На какой высоте (в метрах) над дном колонны располагается поршень? Ускорение свободного падения принять равным \(g = 9{,}8\text{ м/с}^2\). Ответ выразите в метрах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРазность давлений под и над поршнем уравновешивает его вес; выразите давления через уравнение состояния и высоту поршня.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(2\) м.
Плотность кислорода
5/10В сосуде содержится кислород при давлении \(90\) кПа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы кислорода в сосуде равна \(6\cdot 10^{-21}\) Дж. Считая кислород идеальным газом, определите его плотность. Молярная масса кислорода равна \(32\) г/моль, число Авогадро \(6\cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\). Универсальную газовую постоянную считайте равной \(8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К). Ответ представьте в кг/м\(^3\) и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя энергия поступательного движения молекулы даёт температуру газа; затем используйте уравнение Менделеева — Клапейрона.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(1{,}2\) кг/м\(^3\)
Блюдце с водой: давление насыщенного пара
5/10В сосуд объемом 10 кубических метров внесли блюдце с 300 г воды. Никаких водяных паров изначально в сосуде не было. Сосуд герметично закрыли и дождались установления равновесия. Температура в сосуде 25\(^\circ\)C, давление насыщенного пара воды при этой температуре 2,3 кПа. Абсолютный нуль составляет \(-273^\circ\)C. Универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль\(\cdot\)К).
(3 балла) Найдите массу воды, оставшуюся на блюдце. Ответ выразите в граммах и округлите до третьей значащей цифры.
(4 балла) Сколько молекул водяного пара попадет в куб длиной ребра 200 нанометров? Ответ выразите округлите до второй значащей цифры. Масса \(6\cdot 10^{23}\) молекул воды составляет 18 г.
(3 балла) Каким будет парциальное давление водяного пара в сосуде при увеличении температуры до 100 градусов Цельсия? Атмосферное давление составляет 100 кПа. Ответ выразите в килопаскалях и округлите до второй значащей цифры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМассу насыщенного пара найдите из уравнения Менделеева–Клапейрона при давлении 2,3 кПа. При 100 \(^\circ\)C учтите, остаётся ли в сосуде вода: если нет, давление пара определяется количеством вещества.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 133 г; 2) 4500; 3) 5,2 кПа.
Одноатомный газ с теплоёмкостью R
5/10Идеальный одноатомный газ нагревают таким образом, что молярная теплоёмкость процесса равна газовой постоянной \(R\). Во сколько раз уменьшится объём газа к тому моменту, когда его абсолютная температура станет больше в два раза? Ответ округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите первое начало термодинамики для малого изменения: \(C\,dT = C_V\,dT + p\,dV\). Подставьте \(p = \nu RT/V\) и разделите переменные.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветВ 1{,}4 раза.
Кислород в сосуде
5/10В сосуде емкостью 1 м\(^3\) находится \(10^2\) кг кислорода под давлением \(10^5\) Па. Плотность жидкого кислорода 1141 кг/м\(^3\). Кислород кипит при атмосферном давлении при температуре 90 К.
Какова абсолютная «влажность» кислорода в той части сосуда, где кислород находится в газообразном состоянии? Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлите до сотых.
Какова масса этого газообразного кислорода в сосуде? Ответ выразите в кг, округлите до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри кипении при атмосферном давлении давление в сосуде равно давлению насыщенного пара. Плотность пара найдите из уравнения состояния, а массу пара — из того, что общая масса и объём сосуда известны.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(4{,}28\) кг/м\(^3\); 2) \(3{,}92\) кг.
Пузырёк чёрного курильщика
5/10В океанах на большой глубине около срединно-океанических хребтов могут встречаться такие источники тепла, как чёрные курильщики. Они извергают геотермальную воду высокой температуры. После одного из таких выбросов в толще океана появился слой теплой воды, температура \(t\) в котором изменялась с глубиной \(h\) так, как показано на рисунке (представлен на отдельном листе).
Продукты выброса чёрных курильщиков также часто содержат различные газы, которые формируют пузырьки.
Найдите все возможные значения глубины, на которых пузырёк в воде будет находиться в равновесии.
Определите, являются ли найденные положения равновесия устойчивыми.
Считайте, что:
течение в воде отсутствует, и она находится в состоянии покоя;
пузырёк всегда имеет форму шара, и давление внутри него равно внешнему давлению воды;
газ внутри пузырька можно считать идеальным;
температура внутри пузырька равна температуре окружающей воды;
газ не растворяется в воде.
Молярная масса газа \(\mu = 222\text{ г/моль}\), плотность воды постоянна и равна \(\rho_\text{в} = 1020\text{ кг/м}^3\), универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\), ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\), атмосферное давление \(p_0 = 10^5\text{ Па}\).
Примечание. При сдаче работы лист с рисунком вложите в свое решение.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПузырёк в равновесии, когда плотность газа в нём равна плотности воды. Выразите отсюда температуру, нужную для равновесия, как функцию глубины — это прямая, которую можно наложить на данный график. Об устойчивости судите по тому, тяжелее или легче воды становится пузырёк при малом смещении вглубь.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) три положения равновесия: \(h_A = (1030\pm10)\) м, \(h_B = (1110\pm10)\) м, \(h_C = (1135\pm10)\) м; 2) в точках \(A\) и \(C\) равновесие неустойчиво, в точке \(B\) — устойчиво.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПузырёк будет находится в равновесии, если плотность газа \(\rho\) внутри него будет равна плотности воды \(\rho_\text{в}\).
Плотность газа согласно уравнению Менделеева-Клапейрона определяется выражением: \(\rho = \dfrac{\mu p}{RT}\), где \(T\) — температура газа в кельвинах, \(p\) — давление газа на глубине \(h\), равное \(p = p_0 + \rho_\text{в}gh\). Откуда получаем, что плотность газа равна \[\rho = \frac{\mu(p_0 + \rho_\text{в}gh)}{RT}.\]
Температура воды изменяется с глубиной, при этом данная зависимость не задана аналитически, а представлена в виде графика. Поэтому представим условие равновесия графически. Для этого из последнего уравнения получим зависимость температуры \(T\) газа внутри пузырька от глубины \(h\), на которой данный пузырёк находится. Учитывая, что \(\rho = \rho_\text{в}\), из последнего уравнения находим: \(T = \dfrac{\mu p_0}{R\rho_\text{в}} + \dfrac{\mu g}{R}\cdot h\). Подставим числа в уравнение: \(T = 2{,}62\text{ К} + 0{,}267\,\dfrac{\text{К}}{\text{м}}\cdot h\). Учитывая связь температуры \(t\) по шкале Цельсия с температурой \(T\) по шкале Кельвина, получаем: \(t = -270{,}53\ {}^\circ\text{C} + 0{,}267\,\dfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{м}}\cdot h\). Полученную из условия равновесия зависимость \(t(h)\) и зависимость из условия задачи представим на одном графике. Видно, что графики зависимостей пересекаются в трёх точках \(A\), \(B\) и \(C\), значит существует три соответствующих положения равновесия.
Из графика находим глубину для трёх положений равновесия пузырька, соответствующие точкам \(A\), \(B\) и \(C\) графика: \(h_A = (1030\pm10)\) м; \(h_B = (1110\pm10)\) м; \(h_C = (1135\pm10)\) м.
Проанализируем положение равновесия в точке \(A\) на устойчивость. Пусть пузырёк смещается на чуть бОльшую глубину. В этом случае температура газа внутри пузырька будет меньше той, которая необходима для обеспечения его равновесия, а значит плотность газа в пузырьке будет больше плотности воды. Это означает, что сила Архимеда будет меньше силы тяжести, и, следовательно, пузырёк будет тонуть и дальше. То есть получаем, что положение равновесия в точке \(A\) неустойчиво. Аналогично рассуждая, получим, что положение равновесия в точке \(B\) устойчиво, а в точке \(C\) — неустойчиво.
Температура в центре Солнца
6/10Оцените температуру в центре Солнца. Считайте, что плотность вещества Солнца постоянна, а в центре Солнца атомы водорода полностью распадаются на протоны и электроны, образуя плазму с молярной массой \(\mu = 0{,}5\) г/моль, для которой можно использовать уравнение идеального газа. Первая космическая скорость для Солнца (скорость движения спутника вблизи поверхности Солнца) составляет \(V = 400\) км/с. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
Примечание. В качестве правильных принимаются ответы вида \(T \sim \mu V^2/R\) с любым безразмерным коэффициентом порядка единицы. В частности, если ускорение свободного падения всюду считается равным \(g\), баллы за это не снижаются.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление в центре оцените как давление столба вещества высотой порядка радиуса Солнца, а ускорение свободного падения выразите через первую космическую скорость.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТемпература в центре Солнца \(T \approx \dfrac{\mu V^2}{2R} \approx 5\cdot 10^6\) К.
Сверхтяжёлая вода с тритием
6/10В сосуде с не проводящими теплоту стенками под лёгким поршнем при атмосферном давлении \(p = 10^5\) Па находится \(m = 1{,}1\) г жидкой сверхтяжёлой воды \(\mathrm{T_2O}\) (молярная масса \(\mu = 22\) г/моль) при температуре \(T_1 = 0\ {}^\circ\)C. Ядра трития (обозначаются T, имеют атомную массу 3), входящие в состав сверхтяжёлой воды, радиоактивны. При распаде одного моля ядер трития выделяется энергия \(E = 1{,}79\) ГДж, при этом каждую секунду в каждом моле трития распадается \(N = 1{,}07\cdot 10^{15}\) его ядер. Молярная изобарная теплоёмкость сверхтяжёлой воды и её пара почти такие же, как и у обычной воды (\(C_\text{в} = 75{,}6\) Дж/(моль\(\cdot\)К) и \(C_\text{п} = 33{,}2\) Дж/(моль\(\cdot\)К), соответственно). Температура кипения при нормальном давлении и молярная теплота испарения тоже близки к соответствующим значениям для обычной воды (\(T_2 = 100\ {}^\circ\)C и \(L = 40\) кДж/моль). Сколько времени \(\tau_1\) потребуется, чтобы довести воду до кипения? В течение какого времени \(\tau_2\) вода будет кипеть? До какой температуры \(T_3\) нагреется содержимое сосуда через время \(\tau_3 = 2{,}5\) часа после начала эксперимента? Каким будет объём \(V\) сосуда к данному моменту времени? Считайте, что вся энергия, выделяющаяся при распаде трития, сообщается воде. Постоянная Авогадро \(N_A = 6\cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\), универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУбедитесь, что за всё время распадается малая доля ядер, так что мощность тепловыделения постоянна. Затем по этапам: нагрев воды, кипение при постоянной температуре, нагрев пара при \(p = \text{const}\).
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветЧтобы довести воду до кипения, требуется время \(\tau_1 \approx 1184\) с; кипение воды будет происходить в течение промежутка \(\tau_2 \approx 6265\) с; спустя 2,5 часа после начала эксперимента водяной пар в сосуде будет находиться при температуре \(T_3 \approx 671\) К, его объём будет равен \(V \approx 2{,}8\cdot 10^{-3}\) м\(^3\).
Накачивая шину
6/10В задаче рассматривается физическая модель, описывающая некоторые особенности процесса накачивания камеры велосипедного колеса. Объём камеры \(V_0\) считается неизменным. Начальное давление воздуха в камере равно \(P_0\) при температуре окружающей среды \(T_0\). После накачивания воздух в камере должен создавать давление \(P\) при той же температуре \(T_0\). Воздух считается идеальным двухатомным газом (\(c_V = 2{,}5R\)).
a) (6 баллов) В этом пункте камеру соединяют через ниппель с сосудом очень большого объёма \(V_1\) (\(V_1 \gg V_0\)), который содержит воздух при температуре \(T_0\) и таком давлении \(P_{\max}\) (\(P_{\max} > P\)), что после заполнения камеры и её охлаждения до температуры \(T_0\) давление воздуха в камере становится равно \(P\). Ниппель пропускает воздух в камеру, до тех пор пока давление в ней не сравняется с давлением в сосуде, после этого ниппель закрывается и обратно воздух не выпускает.
«Проталкивание» в камеру порции воздуха из сосуда происходит очень быстро, поэтому можно считать, что процесс «проталкивания» осуществляется без теплообмена между этой порцией и воздухом, остающимся в сосуде, а также между воздухом в камере и окружающей средой. В результате температура и давление воздуха в камере повышаются до значений \(P_{\max}\) и \(T_{\max}\). Через некоторое время после этого температура воздуха в камере сравнивается с температурой окружающей среды \(T_0\), давление в камере становится равно \(P\).
Считая известными значения \(T_0 = 300\) K, \(P = 3\cdot 10^5\) Па и \(P_0 = 10^5\) Па, определите \(P_{\max}\) и \(T_{\max}\).
b) Теперь представим себе, что камера накачивается воздухом при помощи ручного насоса. В начале каждого цикла цилиндр насоса объёмом \(V_C\) (\(V_C \ll V_0\)) заполняется воздухом при атмосферном давлении \(P_0\) и температуре \(T_0\). Пусть в начале \(i\)-го цикла давление в камере равно \(P_{i-1}\). На \(i\)-м цикле воздух в цилиндре сначала адиабатически сжимается поршнем от давления \(P_0\) до давления \(P_i\), а затем «проталкивается» через ниппель при постоянном давлении \(P_i\) без теплообмена, как в пункте a) задачи. После этого открывается впускной клапан, через который в цилиндр насоса поступает воздух из окружающей среды при давлении \(P_0\), поршень отодвигается в исходное положение, цилиндр заполняется атмосферным воздухом при давлении \(P_0\). На этом цикл заканчивается. Естественно, придётся совершить довольно много (\(N \gg 1\)) таких циклов «проталкивания» воздуха в камеру, для того чтобы после установления температуры \(T_0\) давление в камере стало равно \(P\). Поскольку накачивание камеры происходит очень быстро, теплообмен между воздухом в камере и окружающей средой начинается уже после окончания работы насоса.
b1) (1 балл) Сколько циклов \(N\) необходимо совершить, чтобы накачать камеру? Параметры \(P_0\), \(P\), \(V_C\) и \(V_0\) считаются известными.
b2) (3 балла) Какую работу \(A_i\) совершает поршень на \(i\)-м цикле? Ответ выразите через \(P_0\), \(P_i\) и \(V_C\).
b3) (2 балла) Определите изменение давления в камере на \(i\)-м цикле \(\Delta P_i\), считая \(P_0\), \(P_i\), \(V_C\) и \(V_0\) известными.
b4) (2 балла) Для того чтобы найти давление в камере после окончания \(k\)-го цикла, используем следующий приём. Соотношение, полученное в предыдущем пункте, можно представить в виде \[\frac{\Delta P_i}{f(P_i)} = \alpha, \tag{1}\] где \(f(P_i)\) — некоторая функция \(P_i\), \(\alpha\) — коэффициент, не зависящий от \(P_i\) (\(\alpha\) и \(f(P_i)\) вам известны, если вы сделали пункт b3). Просуммируем выражения, даваемые формулой (1), от \(i = 1\) до \(i = k\): \[\sum_{i=1}^{k}\frac{\Delta P_i}{f(P_i)} = \alpha\cdot k. \tag{2}\] Суммирование в формуле (1) можно приближённо заменить на интегрирование: \[\sum_{i=1}^{k}\frac{\Delta P_i}{f(P_i)} \approx \int\limits_{P_0}^{P_k}\frac{dP}{f(P)}.\] Определите давление \(P_k\) в камере после \(k\)-го цикла. Параметры \(P_0\), \(V_C\), \(V_0\) и \(k\) считаются известными.
b5) (1 балл) Вычислите \(P_{\max}\) и \(T_{\max}\), считая известными значения параметров \(T_0 = 300\) K, \(P = 3\cdot 10^5\) Па и \(P_0 = 10^5\) Па.
Указание. Значение определённого интеграла от степенной функции даётся формулой \[\int\limits_{a_1}^{a_2}\frac{dx}{x^k} = \frac{1}{k-1}\left(\frac{1}{a_1^{k-1}} - \frac{1}{a_2^{k-1}}\right).\]
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока воздух «проталкивается», теплообмена нет, и работа сил давления идёт на увеличение внутренней энергии всего воздуха в камере. В пункте b) работа на цикле складывается из адиабатического сжатия порции и её выталкивания при постоянном давлении; приравняйте её приращению внутренней энергии газа в камере.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответa) \(T_{\max} = \left(1 + \dfrac25\cdot\dfrac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\) К, \(P_{\max} = P\dfrac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\) Па; b1) \(N = \dfrac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}\); b2) \(A_i = \dfrac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \dfrac52 P_0V_C\); b3) \(\Delta P_i = \dfrac75\,P_i^{2/7}P_0^{5/7}\dfrac{V_C}{V_0}\); b4) \(P_k = P_0\left(1 + \dfrac{V_C}{V_0}k\right)^{7/5}\); b5) \(P_{\max} = P_0\left(\dfrac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\) Па, \(T_{\max} = T_0\dfrac{P_{\max}}{P} \approx 466\) К.
▶РешениеСкрыть: решение
Решениеa) Для того чтобы при температуре окружающей среды давление в камере оказалось равно \(P\), следует «протолкнуть» в камеру количество воздуха \[\Delta\nu = \frac{(P-P_0)V_0}{RT_0}.\] Этот воздух занимал в сосуде объём \[V' = \frac{\Delta\nu\,RT_0}{P_{\max}} = \frac{(P-P_0)V_0}{P_{\max}}.\] «Проталкивая» порцию воздуха в камеру, силы давления совершают работу \[A = P_{\max}V' = (P-P_0)V_0 .\] Можно считать, что давление в сосуде почти не меняется, ведь его объём очень большой. За счёт работы \(A\) увеличивается внутренняя энергия воздуха в камере и воздуха в проталкиваемой порции. Поскольку теплообмена нет, получаем соотношение \[(P-P_0)V_0 = \frac{5R(\nu + \Delta\nu)\,\Delta T}{2},\] где \(\nu\) — начальное количество воздуха в камере. Для конечного состояния воздуха в камере (после охлаждения до температуры \(T_0\)) справедливо уравнение состояния \[PV_0 = (\nu + \Delta\nu)RT_0 .\] Подставляя количество вещества из второго соотношения в первое, получаем уравнение \[\frac{P-P_0}{P} = \frac52\cdot\frac{\Delta T}{T_0},\] из которого следует ответ для температуры \[T_{\max} = \left(1 + \frac25\cdot\frac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\text{ К}.\] Давление находится из закона Шарля \[P_{\max} = P\,\frac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\text{ Па}.\]
b1) Количество циклов «проталкивания» \(N\) можно определить, зная начальное и конечное количество газа в камере. За один цикл в камеру проталкивается воздух из насоса в количестве \(\Delta\nu = \dfrac{P_0V_C}{RT_0}\), поэтому количество циклов равно \[N = \frac{(P-P_0)V_0}{RT_0\,\Delta\nu} = \frac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}.\]
b2) При адиабатическом сжатии от давления \(P_0\) до давления \(P_i\) поршнем совершается работа, равная изменению внутренней энергии сжимаемого в насосе воздуха \[A_{Q=0} = \frac52 P_0V_C\left(\frac{T'}{T_0} - 1\right),\] где \(T'\) — температура, которая достигается в конце сжатия. При помощи уравнения адиабаты \(TP^{-2/7} = \text{const}\) выражение для работы при адиабатическом сжатии может быть записано в виде \[A_{Q=0} = \frac52 P_0V_C\left(\left(\frac{P_i}{P_0}\right)^{2/7} - 1\right).\] Далее работа совершается при постоянном давлении. Она равна \[A_P = P_iV' = P_iV_C\left(\frac{P_0}{P_i}\right)^{5/7} = P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C .\] Суммируя эти работы, получаем для работы на \(i\)-м цикле формулу \[A_i = A_{Q=0} + A_P = \frac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \frac52 P_0V_C .\]
b3) За счёт работы \(A_i\) изменяется внутренняя энергия того воздуха, который уже был в камере на момент начала \(i\)-го цикла, и той порции, которая «проталкивается» в камеру. Изменение внутренней энергии равно \[\Delta U_i = \frac52 P_iV_0 - \frac52\left(P_{i-1}V_0 + P_0V_C\right).\] Приравнивая изменение внутренней энергии и работу \(A_i\), с учётом равенства \(\Delta P_i = P_i - P_{i-1}\) имеем формулу \[\Delta P_i = \frac75\cdot P_i^{2/7}P_0^{5/7}\,\frac{V_C}{V_0}.\]
b4) Осуществляя интегрирование, как описано в формулировке задачи, получаем соотношение \[\frac75\left(P_k^{5/7} - P_0^{5/7}\right) = \frac75\,P_0^{5/7}\,\frac{V_C}{V_0}\cdot k .\] Сделав преобразования в полученной формуле, находим ответ \[P_k = P_0\left(1 + \frac{V_C}{V_0}\,k\right)^{7/5}.\]
b5) Подставляем в формулу для давления количество циклов \(k = N\) из пункта b1), находим максимальное давление \[P_{\max} = P_0\left(1 + \frac{P-P_0}{P_0}\right)^{7/5} = P_0\left(\frac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\text{ Па}.\] Максимальную температуру можно найти из закона Шарля, как при ответе на вопрос пункта a), получится формула \[T_{\max} = T_0\,\frac{P_{\max}}{P} \approx 466\text{ К}.\]
Нагревание насосом
6/10Сосуд с теплоизолирующими стенками заполнен атмосферным воздухом при температуре \(T_0\) и давлении \(p_0\). Через малый клапан в стенке сосуда с помощью насоса, соединённого с клапаном, в сосуд начинают закачивать воздух. Малая порция воздуха из атмосферы поступает в насос, сжимается, после чего в результате теплообмена с окружающей средой охлаждается до температуры \(T_0\), при этом после охлаждения давление воздуха в насосе всегда незначительно выше, чем в сосуде. Затем открывается клапан, и порция воздуха из насоса поступает в сосуд при практически постоянных давлении и температуре, сразу после чего клапан закрывается. Воздух можно считать идеальным двухатомным газом. Теплопотерями за время, в течение которого клапан открыт, можно пренебречь. Считайте, что в процессе закачивания давление воздуха в насосе всегда больше, чем давление воздуха в сосуде, а газ, находящийся в сосуде, из него никогда не вытекает. В результате многократного повторения описанного процесса давление в сосуде повышается до \(p_1\).
Во сколько раз изменилось количество вещества газа в сосуде?
Найдите температуру \(T_1\) в сосуде.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПроталкивая порцию \(d\nu\) в сосуд при постоянном давлении, насос совершает работу \(p\,dV = RT_0\,d\nu\). Запишите первое начало для всего газа, оказавшегося в сосуде, и уравнения состояния в начале и в конце.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\dfrac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \dfrac27 + \dfrac{5p_1}{7p_0}\); 2) \(T_1 = \dfrac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПусть \(V\) — объём сосуда, \(\nu_0\) — начальное количество вещества в сосуде, а \(\Delta\nu\) — количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания: \[p_0V = \nu_0RT_0, \qquad p_1V = (\nu_0 + \Delta\nu)RT_1.\] Пусть давление воздуха внутри насоса равняется \(p_\text{в}\), а \(dV_\text{в}\) — объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества \(d\nu\) внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу \(\delta A_\text{н}\), равную: \[\delta A_\text{н} = p_\text{в}\,dV_\text{в}.\] Но из уравнения Менделеева–Клапейрона \(p_\text{в}\,dV_\text{в} = RT_0\,d\nu\), поэтому: \[\delta A_\text{н} = RT_0\,d\nu.\] Таким образом, полная механическая работа насоса \(A_\text{н}\) составляет: \[A_\text{н} = \Delta\nu RT_0.\] Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначально находившегося в сосуде газа и закачанного в него насосом: \[A_\text{н} + U_0 + U_1 = U_\text{к}.\] Здесь \(U_0 = \nu_0C_VT_0\) — начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, \(U_1 = \Delta\nu C_VT_0\) — сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, а \(U_\text{к} = (\nu_0 + \Delta\nu)C_VT_1\) — конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна \(C_V = 5R/2\). Отсюда: \[\Delta\nu RT_0 + \frac{5\nu_0RT_0}{2} + \frac{5\Delta\nu RT_0}{2} = \frac{5(\nu_0 + \Delta\nu)RT_1}{2}.\] Таким образом: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{5\nu_0 + 7\Delta\nu}{5(\nu_0 + \Delta\nu)} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{(\nu_0 + \Delta\nu)} \;\Rightarrow\; \frac{\Delta\nu}{\nu_0} = \frac57\left(\frac{p_1}{p_0} - 1\right).\] Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = 1 + \frac{\Delta\nu}{\nu_0},\] откуда: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \frac27 + \frac{5p_1}{7p_0}.\] Для отношения температур \(T_1/T_0\) имеем: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{\nu_\text{к}}.\] Таким образом: \[T_1 = \frac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}.\]
Модель миража
7/10Нижний мираж — это оптическое явление в атмосфере, при котором мнимое изображение неба и облаков наблюдается ниже поверхности земли, как бы отражаясь от расположенного на горизонтальной поверхности зеркала. Например, в солнечный день нагретая поверхность горизонтальной асфальтовой дороги на некотором расстоянии от наблюдателя может казаться покрытой лужами (в которых отражается небо и окружающий пейзаж), тогда как на самом деле дорога сухая. Это явление объясняется искривлением световых лучей в неравномерно нагретом воздухе вблизи дороги. В этой задаче можно считать, что вблизи поверхности асфальта лучи распространяются по дугам парабол, как показано на рисунке ниже.
Предполагая, что отклонение показателя преломления воздуха \(n\) от единицы на высоте \(h\) над дорогой пропорционально концентрации воздуха \(N(h)\) на этой высоте: \(n(h)-1\propto N(h)\), определите, на каком расстоянии от себя наблюдатель видит область «мокрого» асфальта.
В этой задаче предлагается считать, что температура воздуха уменьшается линейно с высотой от \(50\,^\circ\text{C}\) у поверхности дороги до \(20\,^\circ\text{C}\) на высоте 2 м. Глаза наблюдателя находятся на высоте 1,7 м. При температуре \(20\,^\circ\text{C}\) показатель преломления воздуха отличается от единицы на величину \(\Delta n = 4\cdot 10^{-4}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри постоянном давлении концентрация воздуха обратно пропорциональна абсолютной температуре. Закон преломления для слоистой среды сохраняет произведение \(n\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол луча с горизонтом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(L = (215 \pm 10)\) м.
Оболочка на весах
7/10Оболочку с тонкими и плохо проводящими тепло стенками из нерастяжимого гибкого полиэтилена взвесили, когда в ней не было воздуха, получилось значение массы \(M = 5\) г. Затем с помощью насоса через трубку с небольшим сечением \(S = 0{,}2\text{ см}^2\) за весьма короткое время \(\tau = 5\) с оболочку заполнили до объёма \(V = 10\) литров воздухом, который брался снаружи, и сразу же взвесили получившийся мешок с воздухом на тех же весах. Получили значение \(0{,}95M\). Через большое время, когда установилось тепловое равновесие, результат взвешивания для оболочки с воздухом снова оказался \(M\). Давление воздуха внутри оболочки и вне её всегда равно \(p_0 = 10^5\) Па. Найдите температуру \(T_0\) окружающего воздуха.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоказание весов отличается от массы оболочки на вес вытесненного воздуха, поэтому по разности показаний можно найти плотность воздуха снаружи и внутри. Для нагретого при быстром заполнении газа запишите закон сохранения энергии с учётом кинетической энергии втекающей струи.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T_0 = (261 \pm 1)\) К.
Водород и азот по разные стороны поршня
1/10Подвижный поршень делит цилиндр на части с водородом и азотом при одинаковой температуре; равенство давлений и уравнение Клапейрона — Менделеева для масс и молярных масс дают долю объёма водорода.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газ с процессом pV³=const
3/10По уравнению процесса и U ∝ pV найти, во сколько раз меняется внутренняя энергия при расширении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Насыщенный пар под поршнем
3/10При изотермическом сжатии насыщенный пар частично конденсируется: плотность пара из уравнения Менделеева — Клапейрона по давлению, затем соотношение объёмов пара и воды через сохранение массы. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Это что за газ?
4/10Разница теплот при нагреве газа в процессе p ~ V и при V = const равна работе газа в этом процессе; по ней найти молярную массу газа и определить его.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Изобарное охлаждение водяного пара
4/10Водяной пар под поршнем охлаждают при постоянном давлении, часть конденсируется: объём пара и температура изменились, из pV = νRT находят число молей сконденсировавшейся воды, а работа над содержимым равна p·ΔV (или аналогично при нагревании с испарением). (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поршень и гиря
4/10Давление газа создают поршень и гиря; уравнение состояния при смене температуры и объёма (уменьшение на 20%) даёт массу гири.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Малые изменения параметров идеального газа
4/10При малых относительных изменениях p и V (ΔT/T = Δp/p + ΔV/V) найти изменение температуры и отношение подведённой теплоты к работе или к изменению внутренней энергии одноатомного газа; первый закон термодинамики в линейном приближении. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два сосуда с клапаном
4/10Газ в одном сосуде, во втором вакуум, клапан пропускает при перепаде p/2; при нагреве в 3 раза в какой-то момент клапан открывается, газ перетекает — найти давление после нагрева.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Смесь азота и гелия
4/10Смесь равных масс N2 и He нагревают вдвое, 2/3 молекул азота диссоциируют; найти новое давление по числу частиц (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Процесс V ∝ p²
4/10Объём пропорционален квадрату давления; из уравнения состояния T ∝ V^{3/2} найти изменение объёма при росте температуры в 8 раз. Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Воздушный шарик
5/10Надутый шарик погружают в глубокую воду: давление растёт, воздух внутри сжимается изотермически, объём падает. Найти глубину, на которой сила Архимеда сравнивается с весом оболочки и воздуха, и шарик начинает тонуть.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тепловая пушка
5/10Через тепловую пушку идёт стационарный поток воздуха с одинаковой скоростью на входе и выходе, но разными давлениями и диаметрами. Из сохранения потока массы и уравнения состояния найти температуру на выходе, а из первого закона — потребляемую мощность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газовый термометр с каплей ртути в трубке
5/10Колба с впаянной трубкой и каплей ртути как газовый термометр при постоянном давлении; по двум положениям капли составляют три уравнения состояния с неизвестными объёмом колбы и сечением трубки и находят минимальную измеримую температуру, длину трубки или температуру. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газовый термометр: длина трубки
5/10Колба с трубкой и каплей ртути как газовый термометр при постоянном давлении; по двум температурам и положениям капли и максимальной измеримой температуре составляют три уравнения состояния и находят длину трубки.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Малые приращения параметров газа
5/10Моль гелия при малых изменениях V и P: линеаризация уравнения состояния даёт приращение T, работа A = PΔV, теплота ΔU + A и молярная теплоёмкость C = Q/(νΔT). (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Малые приращения параметров газа
5/10Моль гелия при малом сжатии: линеаризация PV = νRT даёт ΔT, работа A = PΔV, теплота и молярная теплоёмкость процесса. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Гелий и азот по разные стороны поршня
5/10Теплопроводящий поршень в теплоизолированном цилиндре отпускают, когда давления равны: суммарная внутренняя энергия гелия и азота сохраняется; через уравнение состояния и отношение чисел молей находят конечные объёмы и давление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Охлаждение
5/10Сосуд со змеевиком открыт в атмосферу, воздух охлаждают от T0 до T; в остывающий сосуд входит атмосферный воздух и давление совершает работу, из первого закона термодинамики для всего газа находится переданное теплообменнику тепло.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Гелий перетекает во второй цилиндр
5/10Газ вытесняется поршнем под постоянным атмосферным давлением в откачанный сосуд: первое начало с работой газа над поршнем сводится к теплоёмкости при постоянном давлении, откуда конечная температура или объём (варианты 1–2: гелий, азот).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Жёсткий сосуд и бутылка
5/10Охлаждение воздуха в жёстком сосуде и сминаемой бутылке: изохора до давления, равного атмосферному, затем изобара при сминании бутылки, затем снова изохора; по Гей-Люссаку найти температуру конца изобары.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два поршня в трубах и пружина
5/10Газ между двумя поршнями в трубах S и 2S, связанных пружиной; при охлаждении газа из равновесия сил на поршни и уравнения состояния найти деформацию пружины.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Взрыв метана с кислородом
5/10Равные парциальные давления CH4 и O2, реакция горения до исчерпания метана, вода конденсируется; по числам молей до и после и закону Клапейрона найти конечное давление. Первый комплект (Москва).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Негерметичный сосуд с манометром
6/10При нагреве газ выпускается до разности ΔP, после остывания давление ниже атмосферного; уравнения состояния для обоих опытов делим друг на друга и находим ΔP2.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Исследование планеты
6/10По графику давления от высоты в атмосфере углекислого газа и температуре на 5 км найти температуру у поверхности — через условие гидростатики и уравнение состояния, определяя профиль температуры.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поршень и перетекание газа
6/10Поршень медленно опускается, давление в обоих отсеках постоянно за счёт перетекания газа по трубке; при заданных температурах отсеков из постоянства давления и равновесия поршня находят давление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Откачка азота из сосуда
6/10Моль азота в литре под атмосферным давлением при постоянной температуре не может быть газом — в сосуде жидкий азот с насыщенным паром; при откачке давление насыщенного пара держится, пока жидкость не испарится, и масса откачанного газа определяется по оставшейся порции пара.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сосуд с клапаном между отсеками
6/10Клапан пропускает газ вверх при перепаде Δp; по температуре открытия T0 найти начальные соотношения давлений и числа молей, затем количество перешедшего газа при быстром нагреве до T1. Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газы по обе стороны поршня
7/10Давления над и под массивным поршнем отличаются на вес поршня; уравнения состояния в двух положениях (до и после переворота с нагревом) дают отношение масс газов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.