Шарик внутри заряженной пирамиды

Пусть \(SABC\) — правильная пирамида, образованная пересечением четырёх бесконечных заряженных плоскостей, \(SH\) — её высота, \(SD\) — высота боковой грани \(CSB\) (см. рис. 3.17.1). Поле, создаваемое каждой плоскостью, однородно, направлено по нормали к данной плоскости и по модулю равно \(E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\). Так как пирамида правильная, то внутри пирамиды сумма проекций всех четырёх векторов напряжённости на плоскость основания \(ABC\) равна нулю, а сумма проекций векторов напряжённости на высоту пирамиды \(SH\) равна \(E_x = E - 3E\sin\alpha\). Здесь \(\alpha\) — угол между высотой пирамиды \(SH\) и высотой любой из боковых граней пирамиды, ось \(X\) направлена вдоль \(SH\).

На рисунке 3.17.2 показан треугольник \(ASD\), полученный в результате сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро \(AS\) и высоту \(SD\) противолежащей ему боковой грани. Вектор \(\vec E\) показывает напряжённость поля, создаваемого плоскостью, в которой лежит грань \(BCS\), точка \(O\) определяет положение заряда \(q\). Аналогичный рисунок можно нарисовать для каждой из трёх боковых граней пирамиды. Из геометрических соображений следует, что \[\sin\alpha = \dfrac{DH}{DS} = \dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot DA}{DS} = \dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot a}{\sqrt{b^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}} = \dfrac{a}{\sqrt3\cdot\sqrt{4b^2 - a^2}},\] то есть \[E_x = E(1 - 3\sin\alpha) = E\left(1 - \dfrac{\sqrt3a}{\sqrt{4b^2 - a^2}}\right).\] Значит, в зависимости от соотношения между стороной основания \(a\) и боковым ребром \(b\), возможны три случая:

а) \(E_x > 0\) — реализуется при \(\sqrt3a < \sqrt{4b^2 - a^2}\), откуда следует условие \(b > a\). В этом случае шарик после того, как его отпустят, ударится о плоскость основания пирамиды. Так как поле однородно, то на шарик после его отпускания действует постоянная сила \(F_x = qE_x\). Из закона сохранения энергии получаем: \(\dfrac{mv^2}{2} = F_xh = qE_xh\), откуда \[v = \sqrt{\dfrac{\sigma qh}{m\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{\sqrt3a}{\sqrt{4b^2 - a^2}}\right)}\quad\text{при}\quad b > a.\] б) \(E_x = 0\) — реализуется при \(a = b\). В этом случае поле внутри пирамиды отсутствует, и шарик не будет двигаться, то есть \(v = 0\).

в) \(E_x < 0\) — реализуется при \(\sqrt3a > \sqrt{4b^2 - a^2}\), откуда следует условие \(b < a\). В этом случае шарик ударится о вершину пирамиды и закон сохранения энергии можно записать в виде: \[\dfrac{mv^2}{2} = -qE_x(SH - h).\] С учётом того, что \(SH = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{3}}\) и \(b > \dfrac{a}{\sqrt3}\) (см. рис. 3.17.2), получаем: \[v = \sqrt{\dfrac{\sigma q}{m\varepsilon_0}\left(\sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{3}} - h\right)\left(\dfrac{\sqrt3a}{\sqrt{4b^2 - a^2}} - 1\right)}\quad\text{при}\quad\dfrac{a}{\sqrt3} < b < a.\]