Заряженная пирамида

Пусть \(V\), \(V'\), \(Q\), \(Q'\) — объёмы и заряды пирамид \(SABCD\) и \(SA'B'C'D'\) соответственно. Так как пирамиды подобны и их заряд пропорционален объёму, а объём — кубу высоты, то \(V/V' = Q/Q' = H^3/h^3\). До того, как часть исходной пирамиды отрезали, потенциал \(\varphi_0\) в точке \(S\) складывался из потенциала \(\varphi'\) пирамиды \(SA'B'C'D'\) и потенциала \(\varphi''\) оставшейся части \(ABCDA'B'C'D'\), то есть \(\varphi_0 = \varphi' + \varphi''\). Потенциал, создаваемый в точке \(S\) каждой из пирамид, прямо пропорционален их заряду и обратно пропорционален их характерному линейному размеру. Поэтому \(\dfrac{\varphi_0}{\varphi'} = \dfrac{Q/H}{Q'/h} = \dfrac{H^2}{h^2}\). Из двух последних уравнений получаем: \[\varphi'' = \varphi_0 - \varphi' = \left(1 - \dfrac{h^2}{H^2}\right)\varphi_0.\]