Снижение спутника

Запишем уравнение движения спутника по круговой орбите радиуса \(R\): \[\dfrac{mv_R^2}{R} = \dfrac{GmM_{\text{З}}}{R^2} = \dfrac{mgR_{\text{З}}^2}{R^2}.\qquad(1)\] Здесь \(v_R\) — скорость спутника при движении по орбите радиуса \(R\), \(M_{\text{З}}\) — масса Земли, \(R_{\text{З}}\) — её радиус, \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Пусть за малое время \(\Delta t\) радиус орбиты уменьшился на \(\Delta R\). Тогда из закона изменения механической энергии имеем: \[\dfrac{mv_{R-\Delta R}^2}{2} - \dfrac{mv_R^2}{2} + \left(-\dfrac{mgR_{\text{З}}^2}{R - \Delta R} - \left(-\dfrac{mgR_{\text{З}}^2}{R}\right)\right) = -Fv\Delta t.\qquad(2)\] Кроме того, можно записать уравнение движения спутника по орбите \(R - \Delta R\) со скоростью \(v_{R-\Delta R}\), аналогичное (1): \[\dfrac{mv_{R-\Delta R}^2}{R - \Delta R} = \dfrac{mgR_{\text{З}}^2}{(R - \Delta R)^2}.\qquad(3)\] Выражая из (1) и (3) \(v_R^2\) и \(v_{R-\Delta R}^2\) и подставляя их в (2), получим соотношение, связывающее изменение радиуса орбиты \(\Delta R\) с интервалом времени \(\Delta t\): \[\Delta R = \dfrac{2FvR(R - \Delta R)}{mgR_{\text{З}}^2}\Delta t.\] Учитывая, что \(\Delta R \ll R\), \(R \sim R_{\text{З}}\), для скорости снижения спутника окончательно получим: \[v_{\text{сн}} = \dfrac{\Delta R}{\Delta t} = \dfrac{2FvR(R - \Delta R)}{mgR_{\text{З}}^2} \approx \dfrac{2Fv}{mg}.\]