Луна с двух точек

Изображение предмета, очень далёкого от объектива, получается в фокальной плоскости, и его размер равен произведению фокусного расстояния на угловой размер предмета. Угловой размер Луны с Земли даёт её радиус, а со спутника — радиус орбиты.

\(T\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\approx15\text{ ч}\).

Что происходит. Объектив строит изображение Луны в фокальной плоскости; размер изображения пропорционален угловому размеру Луны. С Земли угол мал, и по нему находится диаметр Луны. Со спутника Луна видна под большим углом, по которому находится расстояние до её центра, то есть радиус орбиты. Период обращения по круговой орбите получаем из второго закона Ньютона с силой тяготения Луны, а её притяжение выражаем через \(g_{\text{Л}}\).

Обозначения. \(f=500\text{ мм}\) — фокусное расстояние, \(d_1=4{,}5\text{ мм}\) и \(d_2=250\text{ мм}\) — диаметры изображений, \(L=3{,}8\cdot10^{8}\text{ м}\) — расстояние Земля — Луна, \(D\) и \(R\) — диаметр и радиус Луны, \(r\) — радиус орбиты (от центра Луны), \(g_{\text{Л}}=g/6\).

1. Диаметр Луны. Расстояния до Луны много больше \(f\), поэтому изображение лежит в фокальной плоскости. Луч от края диска идёт через центр объектива не преломляясь. Из подобия треугольников (рисунок) для малого угла \(D/L\): \[\frac{d_1}{f}=\frac DL\ \Rightarrow\ D=\frac{d_1L}{f}=\frac{4{,}5\cdot10^{-3}\cdot3{,}8\cdot10^{8}}{0{,}5}\text{ м}=3{,}42\cdot10^{6}\text{ м},\quad R=\frac D2=1{,}71\cdot10^{6}\text{ м}.\]

2. Радиус орбиты. Со спутника край диска виден по касательной к Луне. Пусть \(\alpha\) — угол между направлением на центр Луны \(O\) и касательной, проведённой из спутника \(S\). Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому из прямоугольного треугольника \[\sin\alpha=\frac Rr.\] Луч от края диска идёт через центр объектива под углом \(\alpha\) к оптической оси, и на плёнке он даёт точку на расстоянии \(d_2/2\) от центра кадра: \[\tan\alpha=\frac{d_2/2}{f}=\frac{125}{500}=0{,}25.\]

Отсюда \(\sin\alpha=\dfrac{0{,}25}{\sqrt{1+0{,}25^2}}=0{,}2425\), и \[r=\frac{R}{\sin\alpha}=\frac{1{,}71\cdot10^{6}}{0{,}2425}\text{ м}\approx7{,}05\cdot10^{6}\text{ м}\approx4{,}12\,R.\]

3. Период. Спутник движется по окружности под действием только силы тяготения Луны. Второй закон Ньютона в проекции на радиус, к центру Луны: \[m\frac{4\pi^2}{T^2}\,r=\frac{GMm}{r^2}.\] Произведение \(GM\) найдём из силы тяжести тела на поверхности Луны: \(mg_{\text{Л}}=\dfrac{GMm}{R^2}\), откуда \(GM=g_{\text{Л}}R^2\). Тогда \[T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{g_{\text{Л}}R^2}}=2\pi\sqrt{\frac{(7{,}05\cdot10^{6})^3}{1{,}63\cdot(1{,}71\cdot10^{6})^2}}\ \text{с}\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\approx15\text{ ч},\] где \(g_{\text{Л}}=9{,}8/6\approx1{,}63\text{ м/с}^2\).

Ответ. \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{g_{\text{Л}}R^2}}\), где \(R=\dfrac{d_1L}{2f}\), \(r=\dfrac{R}{\sin\alpha}\), \(\tan\alpha=\dfrac{d_2}{2f}\); численно \(T\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\approx15\text{ ч}\).

Обратите внимание. Угол \(\alpha\approx14^{\circ}\) уже не мал, поэтому радиус орбиты находим точно, через \(\sin\alpha\) и \(\tan\alpha\). Если считать угловой размер Луны \(2\alpha\approx d_2/f=0{,}5\) и взять \(r\approx2R/0{,}5=4R\), получится \(T\approx14\text{ ч}\): оценка отличается примерно на 5%.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{\text{м}^3/(\text{м/с}^2\cdot\text{м}^2)}=\sqrt{\text{с}^2}\). Предел: при \(r\to R\) получается \(T=2\pi\sqrt{R/g_{\text{Л}}}\approx1{,}8\text{ ч}\) (орбита у самой поверхности), а наш радиус орбиты больше радиуса Луны в \(4{,}12\) раза, и \(T\) растёт в \(4{,}12^{3/2}\approx8{,}4\) раза: \(1{,}8\cdot8{,}4\approx15\text{ ч}\). Скорость спутника \(v=\sqrt{g_{\text{Л}}R^2/r}\approx0{,}82\text{ км/с}\), и \(2\pi r/v\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.