Спутник с периодом повторения два суток

За время \(nT\) спутник обгоняет точку на Земле на один полный оборот относительно неё. Сравните угловые скорости спутника и Земли.

Угловые скорости спутника и Земли связаны условием \((\omega-\omega_з)\,nT = 2\pi\), где \(\omega_з = \dfrac{2\pi}{T}\). Отсюда \[\omega = \dfrac{2\pi}{nT} + \omega_з = \dfrac{2\pi}{T}\left(n+\dfrac{1}{n}\right) .\]

Закон всемирного тяготения и условие на орбите дают \[m\omega^2 R_с = \gamma\dfrac{m M_з}{R_с^2} .\]

Из равенства \(mg = \gamma\dfrac{m M_З}{R_З^2}\) получаем \(\gamma M_з = g R_з^2\), а значит \[\omega^2 = \dfrac{g R_З^2}{R_с^2} .\] Тогда \[\eta = \dfrac{R_с}{R_З} = \sqrt[3]{\dfrac{g}{\omega^2 R_З}} = \sqrt[3]{\dfrac{T^2 g n^2}{4\pi^2 R_З (n+1)^2}} \approx 5 .\]