Заряды шаров в цепи

Шары изолированы, поэтому сумма их зарядов равна нулю. Потенциал уединённого шара пропорционален заряду и обратно пропорционален радиусу. Напряжения на резисторах цепи делятся в отношении \(1:2\).

Пусть \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) — заряды шаров после их подсоединения к цепи. Поскольку шары были изначально не заряжены и заряд на электрической цепи и соединительных проводниках мал, то \(Q_1+Q_2+Q_3 = 0\). Найдём разность потенциалов между точками 1 и 2, а также между точками 2 и 3 цепи: \[\varphi_1 -\varphi_2 = \dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0\rho} - \dfrac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} = \dfrac{\xi}{3} , \qquad \varphi_2 -\varphi_3 = \dfrac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \dfrac{Q_3}{4\pi\varepsilon_0\rho} = \dfrac{2\xi}{3} .\] Решая полученную систему уравнений, находим: \[Q_1 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\rho\,\xi(r+3\rho)}{3r} ; \quad Q_2 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\,\xi\rho(3\rho-2r)}{3r} ; \quad Q_3 = 4\pi\varepsilon_0\,\xi\rho .\]