Генератор с лентой

Напряжение ограничено пробоем у поверхности шара: для заряженной сферы связь между потенциалом и полем у поверхности простая. Ток ограничен пробоем у ленты: сколько заряда лента несёт за секунду, если на каждом квадратном метре у неё не больше \(\sigma_{\max}\)?

\(U_{\max}=E_0R=4{,}5\cdot10^6\text{ В}=4{,}5\text{ МВ}\); \(I_{\max}\approx\varepsilon_0E_0lv\approx5\cdot10^{-4}\text{ А}=0{,}5\text{ мА}\) (оценка с точностью до множителя 2).

Что происходит. Источник наносит заряд на ленту, лента увозит его внутрь полой сферы, гребёнка снимает заряд, и он перетекает на внешнюю поверхность электрода. Напряжение растёт, пока у поверхности шара поле не достигнет пробивного \(E_0\). Ток — это заряд, который лента переносит за секунду; он ограничен тем, что у самой ленты поле не должно превышать \(E_0\). Ключевые законы: для заряженной проводящей сферы \(\varphi=kQ/R\) и \(E=kQ/R^2\); для заряженной поверхности (теорема Гаусса) \(E=\sigma/\varepsilon_0\).

Обозначения. \(Q\) — заряд электрода, \(\varphi\) — его потенциал относительно земли (далёких предметов), \(\sigma\) — поверхностная плотность заряда на ленте, \(E_0=30\text{ кВ/см}=3\cdot10^6\text{ В/м}\) (сантиметры в метры переведены).

1. Максимальное напряжение. Заряд проводящего электрода лежит на его внешней поверхности. Поле у поверхности сферы \(E=kQ/R^2\), потенциал сферы \(\varphi=kQ/R\). Делим одно на другое: \[\varphi=E\,R .\] Пробой начинается при \(E=E_0\), поэтому максимальное напряжение \[U_{\max}=E_0R=3\cdot10^6\text{ В/м}\cdot1{,}5\text{ м}=4{,}5\cdot10^6\text{ В}.\]

2. Заряд, который несёт лента. Пусть заряд лежит на одной стороне ленты с плотностью \(\sigma\). За время \(t\) мимо любого сечения проходит участок ленты длиной \(vt\) и площадью \(lvt\) (рисунок), на нём заряд \(q=\sigma lvt\). Ток \[I=\frac qt=\sigma\,l\,v .\]

3. Предел плотности заряда. Поле у поверхности заряженной плоскости по теореме Гаусса (коробочка, одно основание в воздухе у поверхности) \(E=\sigma/\varepsilon_0\). Пробой у ленты начинается при \(E=E_0\), откуда \(\sigma_{\max}=\varepsilon_0E_0\) и \[I_{\max}=\varepsilon_0E_0\,l\,v=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^6\cdot1\cdot20\approx5\cdot10^{-4}\text{ А}=0{,}5\text{ мА}.\]

Обратите внимание: это оценка с точностью до множителя порядка единицы. У тонкой ленты с зарядом на одной стороне поле создаётся и с другой стороны, и у поверхности \(E=\sigma/2\varepsilon_0\), тогда допустимая плотность заряда, а с ней и ток вдвое больше (до 1 мА). Порядок \(10^{-3}\) А от этого не меняется.

Ответ. В буквах: \(U_{\max}=E_0R\), \(I_{\max}=\varepsilon_0E_0lv\); в числах: \(U_{\max}\approx4{,}5\text{ МВ}\), \(I_{\max}\approx0{,}5\text{ мА}\) (порядка \(10^{-3}\) А). Мощность на нагрузке не больше \(U_{\max}I_{\max}\approx2{,}4\text{ кВт}\).

Проверка. Размерность: \(\varepsilon_0E_0lv\) — \(\dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}\cdot\dfrac{\text{В}}{\text{м}}\cdot\text{м}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}}=\dfrac{\text{Ф}\cdot\text{В}}{\text{с}}=\dfrac{\text{Кл}}{\text{с}}=\text{А}\). Второй способ для напряжения: заряд электрода при пробое \(Q=4\pi\varepsilon_0E_0R^2\approx7{,}5\cdot10^{-4}\text{ Кл}\), ёмкость шара \(C=4\pi\varepsilon_0R\approx1{,}7\cdot10^{-10}\text{ Ф}\), и \(Q/C=4{,}5\cdot10^6\) В — то же. Смысл: без нагрузки и утечек шар набирает этот заряд за \(Q/I\approx1{,}4\) с; больший ток лента унести не может, а большее напряжение воздух не выдержит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.