Два цикла на одной диагонали

На каждом участке применим первый закон термодинамики: \(Q=\Delta U+A\), где для одноатомного газа \(\Delta U=\tfrac32\Delta(pV)\), а работа — площадь под графиком. На наклонной прямой знак теплоты нужно проверить, а не угадывать: найдите \(dQ\) для малого изменения объёма.

1) Цикл АБВА: тепло получается на АБ (\(1{,}5\,p_0V_0\)) и БВ (\(10\,p_0V_0\)), отдаётся на ВА (\(10{,}5\,p_0V_0\)). Цикл АВГА: получается на АВ (\(10{,}5\,p_0V_0\)), отдаётся на ВГ (\(4{,}5\,p_0V_0\)) и ГА (\(5\,p_0V_0\)).  2) \(\eta_{\text{АБВА}}=2/23\approx8{,}7\%\), \(\eta_{\text{АВГА}}=2/21\approx9{,}5\%\): у цикла АВГА выше в \(23/21\approx1{,}1\) раза.

Что происходит. Оба цикла идут по часовой стрелке и состоят из трёх участков: изохоры, изобары и общей диагонали АВ. На каждом участке считаем теплоту по первому закону термодинамики. Для одноатомного идеального газа \(U=\tfrac32\nu RT=\tfrac32pV\), поэтому \(\Delta U=\tfrac32\Delta(pV)\); работа газа численно равна площади под участком графика (положительна при расширении). Теплоту будем измерять в единицах \(p_0V_0\).

Пункт 1.

1. Участок АБ (изохора, \(V=V_0\), давление растёт от \(p_0\) до \(2p_0\)). Газ работы не совершает: \(A=0\). \(\Delta U=\tfrac32(2p_0V_0-p_0V_0)=1{,}5\,p_0V_0\). Закон: \(Q_{\text{АБ}}=\Delta U+A=+1{,}5\,p_0V_0\), газ получает тепло.

2. Участок БВ (изобара \(p=2p_0\), объём от \(V_0\) до \(3V_0\)). Работа газа \(A=2p_0\cdot2V_0=4\,p_0V_0\). \(\Delta U=\tfrac32(2p_0\cdot3V_0-2p_0V_0)=6\,p_0V_0\). \(Q_{\text{БВ}}=6+4=+10\,p_0V_0\), газ получает тепло.

3. Участок ВГ (изохора, \(V=3V_0\), давление падает с \(2p_0\) до \(p_0\)). \(A=0\), \(Q_{\text{ВГ}}=\Delta U=\tfrac32\cdot3V_0\,(p_0-2p_0)=-4{,}5\,p_0V_0\), газ отдаёт тепло.

4. Участок ГА (изобара \(p=p_0\), объём от \(3V_0\) до \(V_0\), сжатие). \(A=p_0(V_0-3V_0)=-2\,p_0V_0\), \(\Delta U=\tfrac32(p_0V_0-3p_0V_0)=-3\,p_0V_0\), \(Q_{\text{ГА}}=-5\,p_0V_0\), газ отдаёт тепло.

5. Диагональ АВ. Здесь давление зависит от объёма линейно: \(p=p_0\,\dfrac{V+V_0}{2V_0}\). Проверим знак теплоты для малого шага \(dV\): \(dQ=dU+p\,dV\), где \(pV=\dfrac{p_0}{2V_0}(V^2+V_0V)\), откуда \(d(pV)=\dfrac{p_0}{2V_0}(2V+V_0)\,dV\). Тогда \[dQ=\tfrac32\,d(pV)+p\,dV=\frac{p_0}{2V_0}\left(4V+2{,}5\,V_0\right)dV .\] Скобка положительна при любом \(V>0\), поэтому знак \(dQ\) совпадает со знаком \(dV\): на всей диагонали при расширении газ получает тепло, при сжатии отдаёт, точки смены знака нет. Полные теплоты участка: \[Q_{\text{АВ}}=\tfrac32(6-1)\,p_0V_0+\tfrac12(p_0+2p_0)\cdot2V_0=7{,}5\,p_0V_0+3\,p_0V_0=+10{,}5\,p_0V_0,\qquad Q_{\text{ВА}}=-10{,}5\,p_0V_0 .\] (в цикле АБВА диагональ проходится от В к А, в цикле АВГА — от А к В).

Обратите внимание: на наклонной прямой в \(pV\)-диаграмме теплота в общем случае может менять знак внутри участка (у газа с другой теплоёмкостью или у другой прямой). Здесь не меняет, но это показано выше, а не принято на веру.

Пункт 2. КПД цикла \(\eta=W/Q_+\), где \(W\) — работа за цикл, \(Q_+\) — всё полученное тепло. Работа за цикл равна площади цикла: оба треугольника имеют основание \(2V_0\) и высоту \(p_0\), поэтому \(W=\tfrac12\cdot2V_0\cdot p_0=p_0V_0\) у обоих. Полученное тепло: \[Q_+^{\text{АБВА}}=1{,}5+10=11{,}5\,p_0V_0,\qquad Q_+^{\text{АВГА}}=10{,}5\,p_0V_0 .\] \[\eta_{\text{АБВА}}=\frac{1}{11{,}5}=\frac{2}{23}\approx8{,}7\%,\qquad \eta_{\text{АВГА}}=\frac1{10{,}5}=\frac2{21}\approx9{,}5\%,\qquad \frac{\eta_{\text{АВГА}}}{\eta_{\text{АБВА}}}=\frac{23}{21}\approx1{,}1 .\]

Ответ. 1) Цикл АБВА: получает на АБ и БВ, отдаёт на ВА; цикл АВГА: получает на АВ, отдаёт на ВГ и ГА. 2) КПД выше у цикла АВГА, в \(23/21\approx1{,}1\) раза.

Проверка. За цикл \(\Delta U=0\), значит сумма теплот равна работе: АБВА: \(1{,}5+10-10{,}5=1\,p_0V_0=W\); АВГА: \(10{,}5-4{,}5-5=1\,p_0V_0=W\). Тот же баланс по внутренней энергии: \(1{,}5+6-7{,}5=0\) и \(7{,}5-4{,}5-3=0\). Смысл: работа обоих циклов одна, но второй цикл забирает у нагревателя меньше тепла, потому что часть нагрева (участки АБ и БВ первого цикла) он заменяет нагревом по диагонали с той же итоговой работой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.