Столкновение на стробоскопе

Между вспышками шарик проходит одно и то же время, поэтому расстояние между соседними точками пропорционально скорости. Определите скорости всех шариков до и после удара и примените закон сохранения импульса в векторной форме.

1) \(m_2/m_1\approx2{,}8\), где \(m_1\) — масса шарика, показанного стрелкой (примерно \(1:3\)).  2) Второй шарик двигался сверху вниз по рисунку, отклоняясь на \(\approx12^\circ\) вправо от вертикали (под \(\approx68^\circ\) к направлению движения первого шарика), со скоростью \(\approx0{,}75\) скорости первого.

Что происходит. Вспышки идут через равные промежутки времени \(\tau\), поэтому вектор от одной точки шарика до следующей — это его скорость, умноженная на \(\tau\). Каждая траектория — прямая с изломом в точке удара; из четырёх лучей надо сложить два шарика, а затем по закону сохранения импульса найти отношение масс. Длительность удара мала, внешние силы за это время несущественны, поэтому импульс пары шариков сохраняется.

Обозначения. Шарик 1 — тот, что показан стрелкой (приходит с верхнего правого угла), его масса \(m_1\); шарик 2 — другой, масса \(m_2\), \(\mu=m_2/m_1\). Скорости до удара \(\vec v_1\), \(\vec v_2\), после \(\vec v_1'\), \(\vec v_2'\). Ось \(x\) вправо, ось \(y\) вниз (как на снимке); скорости измеряем в \(u/\tau\), где \(u\) — условная единица длины на снимке (масштабный отрезок \(10u\) на рисунке; на бумаге \(u\approx1{,}2\) мм).

1. Скорости по точкам. Берём шаги между соседними точками на каждом прямом участке и усредняем (разброс около \(0{,}1u\)): \[\vec v_1=(-4{,}70;\ 3{,}15),\quad \vec v_1'=(2{,}23;\ 1{,}77),\quad \vec v_2=(0{,}88;\ 4{,}15),\quad \vec v_2'=(-1{,}60;\ 4{,}72)\ \ (u/\tau).\] Модули: \(5{,}66\); \(2{,}85\); \(4{,}24\); \(4{,}98\) (в тех же единицах). Участок шарика 1 после удара (нижний правый) — самый «густой»: он сильно замедлился.

2. Какой луч чей. Запишем закон сохранения импульса системы двух шариков за время удара: \(m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec v_1'+m_2\vec v_2'\), то есть \(m_1(\vec v_1'-\vec v_1)=-m_2(\vec v_2'-\vec v_2)\): изменения скоростей \(\Delta\vec v_1\) и \(\Delta\vec v_2\) направлены противоположно. Из всех способов соединить лучи в два шарика (с шариком 1, пришедшим сверху справа) это выполняется только для пары «шарик 1: верхний правый \(\to\) нижний правый, шарик 2: верхний левый \(\leftrightarrow\) нижний левый»; в остальных способах \(\Delta\vec v_1\) и \(\Delta\vec v_2\) образуют угол около \(87^\circ\) и \(147^\circ\), а не \(180^\circ\). Для принятой пары \[\Delta\vec v_1=\vec v_1'-\vec v_1=(6{,}93;\ -1{,}38),\qquad \Delta\vec v_2=\vec v_2'-\vec v_2=(-2{,}48;\ 0{,}57).\] Направления \(\Delta\vec v_1\) и \(\Delta\vec v_2\) отличаются от противоположных на \(1{,}7^\circ\) — в пределах точности измерения. Они же задают линию центров шариков при ударе: сила удара направлена вдоль неё.

3. Отношение масс. Из равенства \(m_1|\Delta\vec v_1|=m_2|\Delta\vec v_2|\): \[\frac{m_2}{m_1}=\frac{|\Delta\vec v_1|}{|\Delta\vec v_2|}=\frac{7{,}07}{2{,}54}\approx2{,}8 .\] Шарик 2 тяжелее шарика 1 примерно втрое: он слабо изменил скорость, а лёгкий шарик 1 отскочил с изменением на \(7u/\tau\).

4. Направление шарика 2 до удара. Скорость \(\vec v_2=(0{,}88;\ 4{,}15)u/\tau\): шарик двигался сверху вниз по рисунку и чуть вправо; угол с вертикалью \(\operatorname{arctg}(0{,}88/4{,}15)\approx12^\circ\). Угол между \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) равен \(68^\circ\), скорость \(v_2/v_1=4{,}24/5{,}66\approx0{,}75\).

Обратите внимание: одно только сохранение импульса не отличает движение шарика 2 «сверху вниз» от обратного «снизу вверх» (разворот времени у одного шарика меняет начальную и конечную скорости местами, а \(\Delta\vec v_2\) остаётся прежним). Выбираем по потере энергии. Сверху вниз: энергия падает на \(6\%\), коэффициент восстановления (отношение скорости разлёта к скорости сближения вдоль линии центров) \(e\approx0{,}8\) — почти упругий удар шариков. Снизу вверх: потеря \(42\%\), \(e\approx0{,}25\), для обычных твёрдых шариков маловероятно.

Ответ. В буквах: \(\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{|\vec v_1'-\vec v_1|}{|\vec v_2'-\vec v_2|}\); в числах \(\dfrac{m_2}{m_1}\approx2{,}8\) (около \(3\)). Второй шарик шёл от верхнего левого угла вниз с отклонением \(\approx12^\circ\) вправо от вертикали.

Проверка. 1) Импульс при \(\mu=2{,}8\): \(\vec v_1+\mu\vec v_2=(-2{,}24;\ 14{,}77)\) до удара и \(\vec v_1'+\mu\vec v_2'=(-2{,}25;\ 14{,}99)\) после, совпадение в пределах \(1{,}5\%\) (рисунок ниже). 2) Составляющие скоростей вдоль линии, перпендикулярной ударной силе, у гладких шариков не меняются: у шарика 1 \(2{,}17\to2{,}17\), у шарика 2 \(4{,}24\to4{,}32\) — так и есть. Смысл: отношение масс определено по снимку с точностью около \(10\%\) (по проекциям на \(x\) и на \(y\) отдельно получается \(2{,}8\) и \(2{,}4\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.