Обогащение урана

Поры малы, и молекула пролетает сквозь них, не сталкиваясь с другими. Сколько молекул каждого сорта попадает в пору за секунду? Это зависит от их концентрации и средней скорости, а скорость при одной температуре зависит от массы.

\(\dfrac{n_{235}'}{n_{238}'}=\dfrac{7}{1000}\sqrt{\dfrac{352}{349}}\approx\dfrac{7{,}03}{1000}\).

Что происходит. Поры меньше длины свободного пробега, поэтому молекула, попавшая в пору, вылетает в вакуум сосуда \(C\), не сталкиваясь с другими (эффузия). Число молекул сорта \(i\), прошедших в сосуд, пропорционально числу их ударов о стенку, то есть произведению концентрации на среднюю скорость. Лёгкие молекулы быстрее, поэтому в прошедшем газе их доля больше, чем в трубе. Главная идея: при одной температуре средние кинетические энергии молекул равны, значит \(\bar v\propto1/\sqrt m\).

Обозначения. \(n_5\), \(n_8\) — концентрации \(^{235}\)UF\(_6\) и \(^{238}\)UF\(_6\) в трубе; \(N_5\), \(N_8\) — число молекул каждого сорта, проходящих через пору в секунду; \(m_5\), \(m_8\) — массы молекул.

1. Массы молекул (в атомных единицах): \(m_5=235+6\cdot19=349\), \(m_8=238+6\cdot19=352\).

2. Потоки через пору. Число молекул сорта \(i\), ударяющихся о площадку \(S\) за время \(t\), пропорционально \(n_i\bar v_iSt\) с одним и тем же множителем для обоих сортов (направления движения в газе равновероятны). Все молекулы, попавшие в пору, проходят сквозь неё, поэтому \[N_i\propto n_i\bar v_i .\]

3. Средние скорости. Температура газа в трубе одна, значит, равны средние кинетические энергии: \(\tfrac12m_5\bar v_5^{\,2}\sim\tfrac12m_8\bar v_8^{\,2}\), откуда \[\frac{\bar v_5}{\bar v_8}=\sqrt{\frac{m_8}{m_5}}=\sqrt{\frac{352}{349}}\approx1{,}0043 .\]

4. Состав прошедшего газа. Отношение концентраций в откачиваемом газе равно отношению потоков: \[\frac{n_5'}{n_8'}=\frac{N_5}{N_8}=\frac{n_5}{n_8}\cdot\frac{\bar v_5}{\bar v_8}=\frac{7}{1000}\sqrt{\frac{352}{349}}\approx\frac{7{,}03}{1000}.\]

Обратите внимание: формула верна, пока через стенку уходит малая доля газа (состав в трубе почти не меняется вдоль неё) и поры меньше длины пробега. Если поры широкие, газ течёт как сплошная среда, и разделения изотопов нет.

Ответ. В буквах: \(\dfrac{n_5'}{n_8'}=\dfrac{n_5}{n_8}\sqrt{\dfrac{m_8}{m_5}}\); в числах: \(\dfrac{7}{1000}\sqrt{\dfrac{352}{349}}\approx7{,}03\cdot10^{-3}\), то есть \(7{,}03:1000\).

Проверка. При \(m_5=m_8\) множитель равен единице и разделения нет — верно. Смысл: за одну ступень доля \(^{235}\)U растёт всего на \(0{,}43\%\) (отношение \(7:1000\to7{,}03:1000\)), поэтому на практике ставят каскад из сотен и тысяч таких ступеней: чтобы повысить отношение в 5 раз, нужно \(\ln5/\ln1{,}0043\approx375\) ступеней.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.