Лесенка из вольтметров

Вольтметр — это резистор с большим, но конечным сопротивлением, через него идёт ток. Двигайтесь от правого края цепи к батарее: на каждом шаге известно напряжение на очередном вольтметре, и по закону Ома находится ток.

\(U_2=\dfrac{\sqrt{5U_3^2+4U_1U_3}-U_3}{2}=4(\sqrt{10}-1)\approx8{,}65\text{ В}\).

Что происходит. Вольтметры не идеальны: у каждого есть конечное сопротивление \(r\), и через него течёт ток. Поэтому цепь — лесенка, в которой напряжение на вольтметрах растёт от третьего к первому. Правее третьего вольтметра ветвей нет, поэтому разматываем цепь с правого края: известное \(U_3\) даёт ток, ток даёт напряжение на соседнем резисторе, и так до первого вольтметра. Ключевой закон — закон Ома для участка и сохранение заряда в узле (токи, втекающие в узел, равны вытекающим).

Обозначения. \(R\) — сопротивление резистора, \(r\) — вольтметра, \(x=R/r\). \(I_3\) — ток через третий резистор и третий вольтметр (они соединены последовательно, других ветвей правее нет), \(I_2\) — ток через второй резистор. Токи идут слева направо по верхнему проводу и возвращаются по нижнему.

1. Правый край. Закон Ома для третьего вольтметра: \(I_3=U_3/r\). Второй вольтметр подключён параллельно цепочке «третий резистор + третий вольтметр», поэтому его напряжение равно сумме напряжений на ней: \[U_2=U_3+I_3R=U_3(1+x).\]

2. Второй узел. Ток во втором резисторе делится на ток через второй вольтметр \(U_2/r\) и ток \(I_3\). Сохранение заряда в узле: \[I_2=\frac{U_2}{r}+I_3=\frac{U_3(1+x)}{r}+\frac{U_3}{r}=\frac{U_3(2+x)}{r}.\]

3. Первый вольтметр. Он подключён параллельно всему, что правее первого узла: резистору 2 и цепи за ним. Его напряжение — сумма напряжений на втором резисторе и на втором вольтметре: \[U_1=U_2+I_2R=U_3(1+x)+U_3(2+x)\,x=U_3\,(1+3x+x^2).\]

4. Неизвестное \(x\). По условию \(U_1/U_3=10/8=1{,}25\): \[x^2+3x-0{,}25=0\ \Rightarrow\ x=\frac{-3+\sqrt{10}}{2}\approx0{,}081.\] Отрицательный корень отбрасываем: \(R>0\). Резистор в 12 раз «слабее» вольтметра, этого хватает, чтобы показания заметно отличались.

5. Второй вольтметр. \[U_2=U_3(1+x)=8\cdot\frac{\sqrt{10}-1}{2}=4(\sqrt{10}-1)\approx8{,}65\text{ В}.\]

Обратите внимание: «среднее арифметическое» \(9\) В неверно. \(U_2\) лежит между \(U_3\) и \(U_1\), но не посередине: \(U_1\) зависит от \(x\) квадратично, а \(U_2\) линейно.

Ответ. В буквах: \(U_2=\dfrac{\sqrt{5U_3^2+4U_1U_3}-U_3}{2}\); в числах: \(U_2=\dfrac{\sqrt{5\cdot64+4\cdot80}-8}{2}\approx8{,}65\text{ В}\).

Проверка. При \(x\to0\) (идеальные вольтметры, \(R\ll r\)) все три показания сравниваются, \(U_1=U_2=U_3\), — как и должно быть. Подставляем найденное \(x=0{,}0811\): \(U_1=8(1+0{,}2434+0{,}0066)=10{,}0\) В, \(U_2=8\cdot1{,}0811=8{,}65\) В, порядок \(U_3<U_2<U_1\) выполнен. Физический смысл: чем левее вольтметр, тем больший ток нужно пропустить по резисторам справа от него, поэтому показания растут влево.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.