Амперметры, вольтметры, мосты

Перерисуйте схему так, чтобы было видно, как соединены ветви. Какой ток течёт через идеальный вольтметр?

\(I_A = \dfrac{U}{4R}\);  \(U_V = \dfrac{U}{2}\).

Для наглядности можно перерисовать схему:

Ток в ветви, в которой подключён идеальный вольтметр, равен нулю. Значит, \(I_A = \dfrac{U}{4R}\). Показание вольтметра равно: \[U_V = I_A \cdot 2R = \frac{U}{2}.\]

Идеальный амперметр заменяйте проводом, идеальный вольтметр — разрывом цепи, и перерисуйте схему для каждого случая.

1) 3{,}6 В;  2) 12 мА;  3) 0 В;  4) 30 мА.

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, идеальный вольтметр "— бесконечное: ток через вольтметр не идёт. Найдите, какие точки схемы оказываются соединены накоротко, и перерисуйте цепь.

a) \(I_1 = 20\) мА;  b) \(U_1 = 4\) В;  c) \(R = 100\) Ом.

Запишите закон сохранения заряда для узлов, к которым подключён A\(_3\), и учтите, что у одинаковых амперметров одинаковое сопротивление, так что напряжение на каждом пропорционально его току.

1) \(I_3 = 1\) А;  2) \(I_4 = 4\) А;  3) \(R/R_\text{А} = 5\).

Амперметры имеют одинаковое сопротивление \(r\), а у резистора оно равно \(3r\). Обозначьте потенциалы узлов и составьте уравнения для токов через узлы схемы.

1) \(I_3 = 1\) А;  2) \(I_2 = 3\) А.

Какое напряжение приложено к резистору \(R_2\) при замкнутом и при разомкнутом ключе? Подумайте, как изменится ток через \(R_2\), если батарейка идеальная, и что покажет амперметр А1 в ветви с разомкнутым ключом.

Амперметр А1 покажет отсутствие тока; показание амперметра А2 будет равно \(I_2 - I_1 = 2\) мА.

Через вольтметр и резистор течёт один и тот же ток. На какую долю общего напряжения приходится резистор при максимальном отклонении?

2 МОм

При параллельном соединении напряжения на амперметре и резисторе одинаковы, а токи складываются.

3 Ом

Одинаковые амперметры имеют одинаковые сопротивления, поэтому напряжения на них пропорциональны токам. Как связаны напряжения на \(A_2\), \(A_3\) и \(A_4\)?

\(I_3 = I_4 = 1\) А;  \(I_2 = 2\) А.

Амперметры \(A_3\) и \(A_4\) соединены последовательно, значит, протекающие через них токи равны \(I_3 = I_4 = I\). Одинаковые амперметры имеют одинаковые сопротивления, поэтому напряжения на них пропорциональны токам. Напряжение на \(A_2\) равно сумме напряжений на \(A_3\) и \(A_4\), то есть удвоенному напряжению на одном из этих амперметров. Поэтому ток через \(A_2\) вдвое больше тока \(I\): \(I_2 = 2I\). Ток \(I_1\) через \(A_1\) разветвляется на токи \(I_3\) и \(I_2\), тогда \(I_1 = I_3 + I_2 = 3I\). Таким образом \(I_3 = I_4 = I = 1\) А, а \(I_2 = 2I = 2\) А.

Определите, какие токи текут в узлах схемы (идеальные амперметры — провода, идеальные вольтметры — разрыв), и используйте закон Ома для каждого резистора.

1) \(100\) Ом;  2) \(40\) Ом;  3) \(50\) Ом;  4) \(100\) Ом.

Идеальный амперметр — проводник с нулевым сопротивлением, идеальный вольтметр — разрыв цепи. Отметьте на схеме точки одинакового потенциала и упростите цепь.

1) 10 мА;  2) 3 В.

Идеальный амперметр можно заменить проводом, идеальный вольтметр — разрывом цепи. Нарисуйте упрощённую схему и найдите, какие узлы имеют один потенциал.

a) \(U_1 = 4\) В;  b) \(R = 100\) Ом;  c) \(I = 34\) мА.

Если ток по \(BD\) не течёт, потенциалы \(B\) и \(D\) равны (мостовая схема); отсюда находится положение \(D\) на \(AC\). Сопротивление проволоки пропорционально длине.

При максимальном отклонении через вольтметр течёт один и тот же ток; сопротивление вольтметра неизвестно, но его можно исключить из двух уравнений.

\(6\) В

При максимальном отклонении напряжение на амперметре одно и то же; сопротивление амперметра исключается из двух уравнений.

\(1{,}2\) А

Вольтметр — это резистор с неизвестным сопротивлением, а его показание — напряжение на нём. Из отношения напряжений и токов в первой схеме найдите отношение сопротивлений приборов.

Напряжение батарейки равно 9 В; все три вольтметра не могут быть одинаковыми; при последовательном соединении они покажут \(\approx 3{,}43\) В, \(\approx 3{,}43\) В и \(\approx 2{,}14\) В.

Идеальная батарейка поддерживает постоянное напряжение, поэтому вольтметр параллельно ей ничего не меняет. Напряжение на амперметре найдите как разность напряжения батарейки и показаний вольтметра на резисторе.

A) 5 В;  B) 10 Ом;  C) 546 Ом;  D) 4,8 кОм.

Предсказание Станислава верно для идеальных приборов. Учтите внутреннее сопротивление батарейки \(r\) и конечное сопротивление вольтметра \(R_V\), а затем используйте отношение показаний \(4:7:12\).

ЭДС батарейки составляет 28 В; внутреннее сопротивление батарейки, сопротивление резистора и сопротивление вольтметра равны.

Пусть \(\mathcal E\) — ЭДС батарейки.

Станислав мог считать батарейку и вольтметр идеальными. Поскольку сопротивления резисторов и силы тока через них одинаковые, напряжения на резисторах также равны между собой. Поскольку их сумма равна \(\mathcal E\), каждое из напряжений равно \(\mathcal E/3\). Следовательно, \(U_{AB} = \mathcal E/3\), \(U_{AC} = 2\mathcal E/3\), \(U_{AD} = \mathcal E\). При \(U_{AB} = 4\) В получим \(U_{AC} = 8\) В, \(U_{AD} = 12\) В.

Однако батарейка и вольтметр вполне могут и не быть идеальными. Пусть \(R\) — сопротивление каждого из резисторов, \(r\) — внутреннее сопротивление батарейки, \(R_V\) — сопротивление вольтметра. Найдём показания вольтметра при подключении к разным клеммам схемы.

Пусть вольтметр подключён к клеммам A и B. Изобразим схему электрической цепи, заменив неидеальную батарейку на последовательно соединённые идеальную батарейку и сопротивление:

Сила тока через вольтметр равна \(U_{AB}/R_V\); сила тока через резистор, параллельный вольтметру, равна \(U_{AB}/R\); следовательно, сила тока через батарейку равна \[I = \frac{U_{AB}}{R_V} + \frac{U_{AB}}{R}.\] Напряжение между точками B и E составляет, с одной стороны, \(I(2R + r)\), а с другой стороны, \(\mathcal E - U_{AB}\). Отсюда \(I = \dfrac{\mathcal E - U_{AB}}{2R + r}\). Из двух соотношений для \(I\) получим \[\frac{U_{AB}}{R_V} + \frac{U_{AB}}{R} = \frac{\mathcal E - U_{AB}}{2R + r}.\] Отсюда \[\frac{\mathcal E}{U_{AB}} = (2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1.\] Аналогично получим \[\frac{\mathcal E}{U_{AC}} = (R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1; \qquad \frac{\mathcal E}{U_{AD}} = r\left(\frac1{R_V} + \frac1{3R}\right) + 1.\] Для анализа этой системы удобно учесть пропорцию \(U_{AB} : U_{AC} : U_{AD} = 4 : 7 : 12\). В частности, из свойства \(\mathcal E/U_{AB} = 3\mathcal E/U_{AD}\) получим \[(2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1 = 3r\left(\frac1{R_V} + \frac1{3R}\right) + 3,\] или \(R = r\). Также учтём свойство \(4\mathcal E/U_{AB} = 7\mathcal E/U_{AC}\): \[4\cdot\left((2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1\right) = 7\cdot\left((R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1\right).\] Поскольку \(R = r\), преобразуем свойство как \[4\cdot\left(3R\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1\right) = 7\cdot\left(2R\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1\right).\] Из него получим \(R_V = R\).

Таким образом, данные задачи позволяют сделать вывод, что сопротивления батарейки, резисторов и вольтметра одинаковые (батарейка и вольтметр, таким образом, очень далеки от идеальности). В этом случае \(U_{AB} = \mathcal E/7\), \(U_{AC} = \mathcal E/4\), \(U_{AD} = 3\mathcal E/7\). Из данных задачи получаем \(\mathcal E = 28\) В.

Если резистор в диагонали, то при равных плечах моста ток через него не течёт. Во втором случае сравните токи через разные резисторы: чем больше ток через резистор, тем сильнее изменится общий ток при его отключении.

А) нужно отключить любой из резисторов сопротивлением 1 Ом, показания амперметра изменятся на 2 А (по модулю); Б) нужно отключить резистор сопротивлением 1 Ом, подключённый к тому же полюсу батарейки, что и резистор сопротивлением 4 Ом.

Если резистор 4 Ом включён в диагональ моста, то его не имеет смысла вытаскивать, потому что показания амперметра при этом не изменятся. То есть в этом случае надо отключить любой резистор 1 Ом. Если же резистор 4 Ом подключён, например, к плюсу батарейки (это на самом деле не принципиально), то нужно отключить резистор 1 Ом, который тоже подключён к плюсу батарейки, так как через него течёт самый большой ток.

Для случая, когда резистор сопротивлением 4 Ом включён в диагональ моста: вначале ток через диагональ моста не течёт и сопротивление всей цепи равно \[R_1 = \left(\frac{1}{2\text{ Ом}} + \frac{1}{2\text{ Ом}}\right)^{-1} = 1\text{ Ом}.\] После отключения одного из резисторов сопротивлением 1 Ом полное сопротивление всей цепи будет равно \[R_2 = 1\text{ Ом} + \left(\frac{1}{1\text{ Ом}} + \frac{1}{5\text{ Ом}}\right)^{-1} = \frac{11}{6}\text{ Ом} \approx 1{,}83\text{ Ом}.\] Абсолютная величина изменения показаний амперметра равна \[\frac{U}{R_1} - \frac{U}{R_2} = 2\text{ А}.\]

Чем больше ток через резистор, тем сильнее изменится общий ток при его отключении. Через какие резисторы ток наибольший в каждом из двух случаев?

В первом случае нужно отключить любой резистор с сопротивлением 1 Ом; во втором случае нужно отключить резистор с сопротивлением 1 Ом, подключённый к тому же полюсу батарейки, что и резистор с сопротивлением 4 Ом; абсолютная величина изменения показаний амперметра в первом случае равна 2 А.

Если резистор 4 Ом включен в диагональ моста, то его не имеет смысла вытаскивать, потому что показания амперметра при этом не изменятся. То есть в этом случае надо отключить любой резистор 1 Ом. Если же резистор 4 Ом подключён, например, к плюсу батарейки (это на самом деле не принципиально), то нужно отключить резистор 1 Ом, который тоже подключён к плюсу батарейки, так как через него течёт самый большой ток.

Для случая, когда резистор сопротивлением 4 Ом включен в диагональ моста:

Вначале ток через диагональ моста не течёт и сопротивление всей цепи равно \[R_1 = \left(\frac{1}{2\text{ Ом}} + \frac{1}{2\text{ Ом}}\right)^{-1} = 1\text{ Ом}.\] После отключения одного из резисторов сопротивлением 1 Ом полное сопротивление всей цепи будет равно \[R_2 = 1\text{ Ом} + \left(\frac{1}{1\text{ Ом}} + \frac{1}{5\text{ Ом}}\right)^{-1} = \frac{11}{6}\text{ Ом} \approx 1{,}83\text{ Ом}.\] Абсолютная величина изменения показаний амперметра равна \[\frac{U}{R_1} - \frac{U}{R_2} = 2\text{ А}.\]

Рассмотрите отдельно два случая: резистор 4 Ом стоит в диагонали моста или в одном из плеч. Если в диагонали, то ток по ней сначала не течёт; если в плече, то нужно понять, через какой резистор течёт наибольший ток.

Нужно рассмотреть два случая: когда резистор с сопротивлением 4 Ом включён в диагональ моста и когда нет. В первом случае нужно отключить любой резистор с сопротивлением 1 Ом, изменение показаний амперметра равно 2 А. Во втором случае нужно отключить резистор с сопротивлением 1 Ом, подключённый к тому же полюсу батарейки, что и резистор с сопротивлением 4 Ом; изменение показаний \(\approx 2{,}4\) А.

Если резистор 4 Ом включён в диагональ моста, то его не имеет смысла вытаскивать, потому что показания амперметра при этом не изменятся. То есть в этом случае надо отключить любой резистор 1 Ом. Найдём изменение показаний амперметра в этом случае.

Вначале ток через диагональ моста не течёт и сопротивление всей цепи равно \[R_1 = \left(\frac{1}{2\text{ Ом}} + \frac{1}{2\text{ Ом}}\right)^{-1} = 1\text{ Ом}.\] После отключения одного из резисторов сопротивлением 1 Ом полное сопротивление всей цепи будет равно \[R_2 = 1\text{ Ом} + \left(\frac{1}{1\text{ Ом}} + \frac{1}{5\text{ Ом}}\right)^{-1} = \frac{11}{6}\text{ Ом} \approx 1{,}83\text{ Ом}.\] Абсолютная величина изменения показаний амперметра равна \[\frac{U}{R_1} - \frac{U}{R_2} = 2\text{ А}.\]

Если же резистор 4 Ом подключён, например, к плюсу батарейки (это на самом деле не принципиально), то нужно отключить резистор 1 Ом, который тоже подключён к плюсу батарейки, так как через него течёт самый большой ток. Найдём изменение показаний амперметра в этом случае.

Найдём сопротивление цепи до отключения резистора. Для определённости положим, что резистор сопротивлением 4 Ом подключён между точками 1 и 2 (в силу симметрии сопротивление цепи будет таким же и в 3 остальных случаях). Пусть потенциал в точке 1 \(\varphi_1 = 0\), тогда потенциал в точке 4 равен \(\varphi_4 = U\). Пусть \(\varphi_2\) и \(\varphi_3\) "— потенциалы точек 2 и 3 соответственно. Для узлов 2 и 3 запишем условие равенства нулю суммы всех вытекающих токов: \[\begin{cases} \dfrac{\varphi_2}{4\text{ Ом}} + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_3}{1\text{ Ом}} + \dfrac{\varphi_2 - U}{1\text{ Ом}} = 0,\\[2mm] \dfrac{\varphi_3}{1\text{ Ом}} + \dfrac{\varphi_3 - \varphi_2}{1\text{ Ом}} + \dfrac{\varphi_3 - U}{1\text{ Ом}} = 0; \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{9}{4}\varphi_2 - \varphi_3 = 4{,}5\text{ В},\\[2mm] -\varphi_2 + 3\varphi_3 = 4{,}5\text{ В}; \end{cases} \iff \begin{cases} \varphi_2 \approx 3{,}1\text{ В},\\ \varphi_3 \approx 2{,}5\text{ В}. \end{cases}\] Сила тока в цепи равна \[I_1 = \frac{\varphi_2}{4\text{ Ом}} + \frac{\varphi_3}{1\text{ Ом}} \approx 3{,}32\text{ А}.\] После отключения резистора сила тока в цепи будет равна \[I_2 = \frac{U}{4\text{ Ом} + \dfrac{2}{3}\text{ Ом}} \approx 0{,}96\text{ А}.\] Абсолютная величина изменения показаний амперметра равна \[I_1 - I_2 \approx 2{,}4\text{ А}.\]

Через идеальный вольтметр ток не течёт, поэтому в каждой из двух параллельных ветвей резисторы соединены последовательно. Найдите токи в ветвях и разность потенциалов между точками подключения вольтметра.

\(U_{V1} = 35\) В;  \(U_{V2} = 32\) В.

Ток, текущий через идеальный вольтметр, пренебрежимо мал, поэтому можно считать, что ток \(I\) в верхней ветви в два раза меньше, чем в нижней, и равен \(I = \dfrac{1}{8R}\mathcal{E}\). Разность потенциалов между точками подсоединения вольтметра \(4IR\), следовательно, показание вольтметра \(U_{V1} = \mathcal{E}/2 = 35\) В.

Если поменять местами источник и вольтметр, то сопротивления параллельных ветвей будут относиться как 5 к 7, и если по правой ветви идёт ток \(5I\), то по левой пойдёт \(7I\), причём \(\mathcal{E} = 35IR\), а разность потенциалов точек подсоединения вольтметра \(16IR\), откуда \(U_{V2} = \dfrac{16}{35}\mathcal{E} = 32\) В.

Токи через вольтметры пренебрежимо малы, поэтому через резисторы \(2R\) и \(3R\) течёт один и тот же ток. Выразите показания вольтметров через разности потенциалов узлов и запишите связь для центрального узла.

\(U_1 = 14\) В, \(U_2 = 2\) В.

Из-за большого сопротивления вольтметров ток, текущий через них, пренебрежимо мал. Пусть через резисторы \(2R\) и \(3R\) идет ток \(I\), тогда через резистор \(R\) идет ток \(5I\). Выразим суммарные показания вольтметров через разности потенциалов узлов, к которым они подключены: \(U_1 + U_3 = U\), \(U_2 + U_3 = \dfrac{3}{5}U\) (здесь \(U\) — напряжение на резисторе \(R\), то есть между точками \(A\) и \(B\)). С учетом первого закона Кирхгофа для центрального узла схемы \(U_1 + U_2 = U_3\). Решая систему уравнений, получим: \(U_1 = \dfrac{7}{15}U\), \(U_2 = \dfrac{1}{15}U\), \(U_3 = \dfrac{8}{15}U\), или \(U_1 = 14\) В, \(U_2 = 2\) В.

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, так что его концы можно считать одной точкой. Перерисуйте схему и найдите, какие резисторы оказались под одним и тем же напряжением.

\(I_2 = 0{,}15\) А.

Если перерисовать схему с учётом того, что амперметры идеальные, то становится понятно, что напряжение на центральном резисторе равно напряжению на левом резисторе начальной схемы.

Таким образом, из закона Ома для участка цепи получаем силу тока, протекающего через центральный резистор: \(I_{2R} = 0{,}05\) А. Очевидно, что второй амперметр показывает сумму двух токов \(I_2 = I_1 + I_{2R} = 0{,}15\) А.

Все приборы соединены последовательно, ток через них один и тот же. Показание вольтметра есть напряжение на нём; остаток напряжения батарейки приходится на резистор.

1) 1 МОм;  2) 2 МОм;  3) 200 кОм.

Перерисуйте схему так, чтобы были видны параллельные и последовательные соединения. Амперметр, включённый параллельно вольтметру, находится под тем же напряжением. Перебирайте варианты расстановки и ищите противоречие с тем, во сколько раз отличаются показания.

1) Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры;  2) \(R_\text{А} = 10\) кОм, \(R_V = 50\) кОм.

Перерисуем электрическую схему.

Приборы 3 и 4 соединены параллельно, а по условию нет двух вольтметров или амперметров с одинаковыми показаниями. Поэтому один из приборов 3 и 4 должен быть вольтметром, а второй — амперметром. Давайте для определённости будем считать 3 амперметром, а 4 — вольтметром.

Предположим, что прибор номер 1 — амперметр. Через прибор 1 протекает ток, равный сумме токов через приборы 3 и 4. Тогда из двух амперметров 1 и 3 больший ток протекает через амперметр 1. Значит, через амперметр 1 протекает ток \(I_1 = 520\) мкА, а через амперметр 3 протекает ток \(I_3 = 200\) мкА. Соответственно через вольтметр 4 протекает ток \(I_1 - I_3 = 320\) мкА. Найдём внутреннее сопротивление амперметра. Амперметр 3 включён в схему параллельно вольтметру 4, значит, напряжение на амперметре 3 равно напряжению на вольтметре 4. Тогда внутреннее сопротивление амперметров \(R_A = \dfrac{U_4}{I_3}\). Напряжение на амперметре 1 равно \(U_1 = I_1 R_A = \dfrac{U_4 I_1}{I_3}\). Известно, что в схеме всего 2 амперметра. Если приборы 1 и 3 — амперметры, тогда прибор 2 должен быть вольтметром. Он показывает сумму напряжений на амперметрах 1 и 3, равную \(U_1 + U_4 = \dfrac{U_4(I_1 + I_3)}{I_3} = 3{,}6U_4\). Но по условию задачи в схеме нет двух вольтметров, показания которых различаются в 3,6 раза. Тогда мы приходим к противоречию с предположением, что прибор 1 — амперметр. Следовательно, прибор 1 — вольтметр.

Через вольтметр 1 течёт ток, равный сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4. Поэтому напряжение на вольтметре 1 больше, чем на вольтметре 4. Если 2 — вольтметр, то напряжение на нём равно сумме напряжений на 1 и 4. Если 5 — вольтметр, то ток через него равен сумме токов через 1 и 2, значит, напряжение на 5 больше, чем напряжение на 1 и 4. В любом случае получаем, что самое маленькое напряжение из всех вольтметров (равное 2 В) показывает вольтметр 4, а вольтметр 1 показывает среднее значение \(U_1 = 12\) В. Напряжение на приборе 2 равно сумме напряжений на вольтметрах 1 и 4. Тогда \(U_2 = U_1 + U_4 = 14\) В. Если предположить, что прибор 2 — амперметр, то сила тока через него должна быть равна \(\dfrac{U_2}{R_A} = \dfrac{U_2 I_3}{U_4} = 7I_3\). Но это не соответствует условиям задачи: по условию показания двух амперметров отличаются в \(\dfrac{520}{200} = 2{,}6\) раза. Следовательно, прибор 2 — вольтметр и его показания \(U_2 = 14\) В, а прибор 5 — амперметр. Мы узнали, на каких местах в схеме стоят амперметры и вольтметры.

Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры.

Теперь найдём внутренние сопротивления приборов. Сила тока через амперметр 5 равна сумме токов через амперметр 3, вольтметр 4 и вольтметр 2. Следовательно, сила тока в амперметре 3 меньше, чем в амперметре 5: \(I_3 = 200\) мкА, \(I_5 = 520\) мкА. Тогда сопротивление амперметров \[R_\text{А} = \frac{U_4}{I_3} = 10\text{ кОм}.\] Сила тока через вольтметр 1 равна сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4: \[I_1 = \frac{U_1}{R_V} = I_3 + \frac{U_4}{R_V}.\] Преобразуем это выражение: \(\dfrac{U_1 - U_4}{R_V} = I_3\), и выразим из него сопротивление вольтметров \[R_V = \frac{U_1 - U_4}{I_3} = 50\text{ кОм}.\]

При повороте на \(90^\circ\) амперметр и вольтметр меняются местами в цепи. Запишите показания ваттметра для обоих включений и возьмите их отношение — напряжение источника сократится; из двух вариантов соответствия оставьте тот, где \(R_V > r_A\).

1) \(R_V = 50\text{ кОм}\);  2) можно: например, по схеме из решения (вольтметр последовательно с источником, амперметр параллельно резистору) \(P_3 = P_2(R + r_A)/R_V \approx 10\text{ мВт}\).

Необходимо проанализировать два возможных варианта подключения и рассчитать показания ваттметра для каждого из них. Обозначим напряжение на выводах идеального источника постоянного напряжения за \(U\).

В случае левой схемы показания амперметра (\(I_1\)) и вольтметра (\(U_1\)): \[\begin{cases} I_1 = \dfrac{U}{R + r_A};\\ U_1 = U. \end{cases}\] По условию показания ваттметра равны произведению показаний амперметра и вольтметра: \[P_1' = I_1U_1 = \frac{U^2}{R + r_A}.\] В случае правой схемы показания амперметра (\(I_2\)) и вольтметра (\(U_2\)): \[\begin{cases} I_2 = \dfrac{U}{r_A};\\ I_V = \dfrac{U}{R + R_V};\\ U_2 = I_VR_V = \dfrac{UR_V}{R + R_V}. \end{cases}\] Тогда показания ваттметра в рассмотренном случае: \[P_2' = I_2U_2 = \frac{U^2}{R + R_V}\cdot\frac{R_V}{r_A}.\] Отношение показаний ваттметра позволяет исключить напряжение источника. \[k = \frac{P_1'}{P_2'} = \frac{R + R_V}{R + r_A}\cdot\frac{r_A}{R_V}.\] Отметим, что индексы 1 и 2 для мощностей в формуле выше не обязаны соответствовать индексам в условии задачи, поскольку нам неизвестно, какая схема была собрана первой. Выразим искомое внутреннее сопротивление вольтметра: \[R_V = \frac{R}{k\dfrac{R + r_A}{r_A} - 1}.\] Подставляем числовые значения, учитывая два возможных варианта соответствия между индексами в условии и нашем решении:

1. \(k = 100/1 = 100 \Rightarrow R_V \approx 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ Ом}\). Величина получилась меньше сопротивления амперметра, значит этот ответ неверный.

2. \(k = 1/100 = 0{,}01 \Rightarrow R_V = 50\text{ кОм}\).

Рассмотрим схему, изображённую на рисунке.

Сила полного тока в цепи: \[I = \frac{U}{R_V + \frac{Rr_A}{R + r_A}}.\] С учётом неравенства \(R_V \gg R \gg r_A\) получим: \[I = \frac{U}{R_V + \frac{Rr_A}{R + r_A}} \approx \frac{U}{R_V}.\] Силу тока, протекающего через амперметр, с учётом неравенства, можно выразить следующим образом: \[I_A = I\cdot\frac{R}{R + r_A} \approx I = \frac{U}{R_V}.\] Показания вольтметра равны \(U_V = IR_V\), а показания ваттметра: \[P_3 = I_AU_V = I^2R_V = \frac{U^2}{R_V}; \quad U^2 = P_2(R + r_A) \Rightarrow P_3 = \frac{P_2(R + r_A)}{R_V} \approx 10\text{ мВт}.\]

Резистор \(R\) и измеряемое сопротивление \(R_x\) можно включить последовательно или параллельно друг другу; амперметр ставят так, чтобы через него шёл ток нужной ветви. Учтите предел шкалы 20 мА.

Возможны три принципиально разные схемы сборки омметра (см. рисунки):

Схема 1: \(R_x = U/I - R\), диапазон измерений от 0 до \(\infty\) Ом. Схема 2: \(R_x = \dfrac{UR}{IR - U}\), диапазон измерений от 150 Ом до \(\infty\) Ом. Схема 3: \(R_x = U/I\), диапазон измерений от 75 Ом до \(\infty\) Ом.

Выразите показание каждого омметра через ток, текущий через него, сравните токи в параллельных омметрах и в одиночном, затем запишите второе правило Кирхгофа для контура с омметрами и резистором.

\(R_3 = 800\text{ Ом}\);  \(R = 500\text{ Ом}\).

Вольтметр идеальный, поэтому каждое плечо моста работает как делитель напряжения; показание равно разности потенциалов средних точек. Наклон графика \(R(T)\) в точке \(T_0\) даёт связь \(\Delta R_t\) с \(\Delta T\).

1) \(U(\Delta T) = \dfrac{U_0 k}{4R_t(T_0)}\,\Delta T\), т. е. \(U(\Delta T) = \Delta T \cdot 50\text{ мВ}/{}^\circ\text{С}\) (здесь \(\Delta R_t = -k\Delta T\), \(k = 10\text{ Ом}/{}^\circ\text{С}\)); меньшая относительная погрешность обеспечивается при низких температурах;  2) \(23\,{}^\circ\text{С} < T < 100\,{}^\circ\text{С}\).

Резистор на поверхности балки лежит на дуге радиуса \(r \pm d/2\) с тем же углом, что и участок недеформируемой линии. Мостовая схема при малых \(\Delta R\) даёт напряжение, пропорциональное разности относительных изменений сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\).

1) \(\varepsilon_1 = \dfrac{d}{2r}\);  2) \(\varepsilon_2 = -\dfrac{d}{2r}\);  3) \(n = 1\), \(\gamma = \dfrac{\mathcal{E}kd}{4\alpha}\);  4) \(U' = \dfrac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}\) — показания не изменятся;  5) \(U'' = \dfrac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}\) — показания не изменятся.

Проведем из центра дуги окружности недеформируемой линии два луча к краям резистора №1. Эти два луча отсекут на недеформируемой линии дугу, размер которой будет равен размеру резистора \(l_0\) до деформации. Положим угол между лучами равным \(\beta\). Тогда размер резистора в недеформируемом состоянии окажется равным \(l_0 = \beta r\).

Размер подложки после деформирования балки составит \[l = \beta(r + d/2).\] Тогда величина относительного удлинения резистора составит \[\varepsilon_1 = \frac{l - l_0}{l_0} = \frac{d}{2r}.\] Относительное изменение длины резистора №2 будет таким же по модулю, но отрицательным: \[\varepsilon_2 = -\frac{l - l_0}{l_0} = -\frac{d}{2r}.\]

В ненагруженном состоянии балки напряжения на резисторах №1 и №2 одинаковы и равны половине напряжения источника питания. Показания вольтметра в этом случае будут нулевыми. При нагрузке балки сопротивление резистора №1 увеличится на величину \[\Delta R = k\varepsilon R_0 = k\cdot\frac{d}{2r}\cdot R_0 \ll R_0,\] а сопротивление резистора №2 уменьшится на ту же величину. Силы тока через резисторы \(R_1\) и \(R_2\), соответственно, равны \[I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R}, \qquad I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 - \Delta R}.\] Показание вольтметра будет равно разности напряжений на резисторах \(R_3 = R_0\) и составит \[U = (I_2 - I_1)R_0 = \left(\frac{\mathcal{E}}{2R_0 - \Delta R} - \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R}\right)\cdot R_0 = \frac{2\mathcal{E}R_0\Delta R}{4R_0^2 - (\Delta R)^2} \approx \frac{\mathcal{E}}{2}\cdot\frac{\Delta R}{R_0}.\] С учетом ранее полученного выражения для изменений сопротивлений резисторов: \[U = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = \frac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}.\] Таким образом, зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза является прямой пропорциональностью, то есть \(n = 1\). Тогда для коэффициента этой зависимости имеем: \[\gamma = \frac{\mathcal{E}kd}{4\alpha}.\]

Если недеформируемая линия балки будет проходить на некотором расстоянии \(x\) от верхней поверхности балки, то формулы для относительной деформации подложек резисторов №1 и №2 примут вид: \[\begin{cases} \varepsilon_1 = x/r,\\ \varepsilon_2 = -(d - x)/r. \end{cases}\] Соответственно, относительные изменения сопротивлений: \[\begin{cases} \Delta R_1/R_0 = kx/r,\\ \Delta R_2/R_0 = -k(d - x)/r. \end{cases}\] Тогда для показаний вольтметра аналогично предыдущему случаю получим: \[U' = \left(\frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R_2} - \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R_1}\right)\cdot R_0 = \frac{\mathcal{E}R_0(\Delta R_1 - \Delta R_2)}{(2R_0 + \Delta R_1)(2R_0 + \Delta R_2)} \approx \frac{\mathcal{E}}{4}\cdot\frac{\Delta R_1 - \Delta R_2}{R_0},\] откуда \[U' = \frac{k\mathcal{E}}{4}\left(\frac{x}{r} + \frac{d - x}{r}\right) = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = U.\] То есть полученный ранее ответ не зависит от места положения недеформируемой линии.

Теперь предположим, что балка ко всему прочему нагрелась. Тогда к относительным изменениям длины подложек резисторов добавятся еще и удлинения за счет теплового расширения балки: \[\begin{cases} \varepsilon_1 = d/(2r) + \varepsilon_3,\\ \varepsilon_2 = -d/(2r) + \varepsilon_3. \end{cases}\] Проведя аналогичные вычисления, получим, что и в этом случае показания вольтметра останутся прежними:

\[U'' = \frac{k\mathcal{E}}{4}\left(\frac{d}{2r} + \varepsilon_3 - \frac{d}{2r} - \varepsilon_3\right) = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = U.\] То есть предложенная схема тензоэлектрического датчика является термостабильной и в целом не чувствительна к деформациям растяжения-сжатия балки.

Выразите потенциалы точек подключения вольтметра через токи в ветвях по правилам Кирхгофа. Ответ распадается на два слагаемых: одно содержит \(r\), другое нет.

1) \(R_1 = \dfrac{R_2R_3}{R_4} + \dfrac{r}{r+R_5+R_6}\left(\dfrac{R_3R_6}{R_4} - R_5\right)\);  2) \(R_3R_6 = R_4R_5\);  3) \(R_1 = \dfrac{R_2R_3}{R_4}\).

Переберите, какой из трёх приборов имеет малое сопротивление, и в каждом случае найдите показания по правилам Кирхгофа: сопротивления вольтметров велики, так что внутренним сопротивлением батарей можно пренебречь.

1) 24 В показывает первый вольтметр;  2) два остальных вольтметра показывают 0 В и 12 В;  3) малое сопротивление имеет третий вольтметр, а два других вольтметра имеют большие сопротивления.

Если ток через \(R_1\) и \(R_2\) не течёт, потенциалы их концов равны — найдите потенциалы всех узлов. Схему с обратной полярностью удобно представить как наложение первой схемы и схемы с одним источником. Для омметра замените цепь между \(A\) и \(B\) эквивалентным источником.

1) \(U_0\) (при нужной полярности \(\varphi_B - \varphi_A = U_0\));  2) \(r = \sqrt{R_1R_2}\);  3) \(R = \sqrt{R_1R_2}\) при любой полярности подключения омметра.

Пункт 1. Воспользуемся методом узловых потенциалов. Рассмотрим случай, когда на резисторах \(R_1\) и \(R_2\) мощность не выделяется. Тогда напряжения на этих резисторах равны нулю.

Пусть \(\varphi_C = 0\), тогда \(\varphi_D = U_0\) (см. рисунок 1). Так как токи через \(R_1\) и \(R_2\) равны нулю, получаем: \[\varphi_A = \varphi_C = 0 \quad\text{и}\quad \varphi_B = \varphi_D = U_0.\] Следовательно, напряжение источника, подключенного к точкам \(A\) и \(B\), равно: \[\varphi_B - \varphi_A = U_0.\]

Пункт 2. Метод 1. Воспользуемся методом наложения. Рассмотрим схему с противоположной полярностью источника (подключенного к \(A\) и \(B\)) как суперпозицию ранее рассмотренной схемы и схемы с источником таким, что \(\varphi_B - \varphi_A = -2U_0\). Ранее рассмотренная схема даёт нулевые токи через \(R_1\) и \(R_2\). Значит, осталось лишь определить силы токов \(I_1\) и \(I_2\), текущих через резисторы \(R_1\) и \(R_2\) во второй схеме. Расставим токи во второй схеме с учётом закона Ома (см. рисунок 2).

Из закона сохранения заряда: \[I_1 + \frac{I_1R_1}{r} = I_2 + \frac{I_2R_2}{r}; \qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}.\] Мощности на этих резисторах \(P_1 = I_1^2R_1\) и \(P_2 = I_2^2R_2\) равны, следовательно: \[1 = \frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{I_1}{I_2}\right)^2\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{R_2 + r}{R_1 + r}\right)^2\frac{R_1}{R_2}.\]

Метод 2. Введём силы токов через резисторы с учётом закона сохранения заряда (см. рисунок 3). Распишем разность потенциалов двумя способами:

\[\varphi_A - \varphi_B = Ir + I_2R_2;\] \[\varphi_A - \varphi_B = I_1R_1 + (I_1 - I_2 + I)r; \qquad I_2R_2 - I_1R_1 = (I_1 - I_2)r.\] Откуда \[r = \frac{\frac{I_2}{I_1}R_2 - R_1}{1 - \frac{I_2}{I_1}}.\] Условие равенства мощностей \(I_1^2R_1 = I_2^2R_2\), следовательно: \[\frac{I_2}{I_1} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \;\Rightarrow\; r = \frac{\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\,R_2 - R_1}{1 - \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}}.\] Из полученных формул выразим \(r\): \[r = \sqrt{R_1R_2}.\]

Пункт 3. Метод 1. Воспользуемся методом эквивалентного источника. Заменим всю схему на источник напряжением \(U^*\) и сопротивлением \(r^*\). Эквивалентное напряжение найдём как разность потенциалов между узлами \(A\) и \(B\) в отсутствие внешних токов (см. рисунок 4):

\[U^* = \varphi_A - \varphi_B = -\frac{U_0}{R_1 + r}\,r + \frac{U_0}{R_2 + r}\,R_2 = 0.\] Эквивалентное сопротивление найдём, заменив ветвь с источником на перемычку: \[r^* = \frac{R_1r}{R_1 + r} + \frac{R_2r}{R_2 + r} = \sqrt{R_1R_2}.\] Таким образом, двухполюсник \(AB\) эквивалентен просто резистору сопротивлением \(\sqrt{R_1R_2}\). Следовательно, омметр при подключении к такому двухполюснику покажет \(R = \sqrt{R_1R_2}\) вне зависимости от его полярности.

Метод 2. Заметим, что условие \(r^2 = R_1R_2\) эквивалентно условию сбалансированности моста \(r/R_1 = R_2/r\). Рассмотрим схему, в которой источник \(\mathcal{E}_0\) внутри омметра заменён на перемычку. Через внутреннее сопротивление \(r_0\) омметра ток не течёт, поскольку он расположен на диагонали сбалансированного моста. Тогда: \[(\varphi_A - \varphi_B)^{(1)} = 0; \quad I_{AB}^{(1)} = 0.\] Рассмотрим схему, в которой источник \(U_0\) заменён на перемычку. Через эту перемычку ток также не течёт в силу сбалансированности моста, тогда: \[(\varphi_A - \varphi_B)^{(2)} = \pm\mathcal{E}; \quad I_{AB}^{(2)} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{r^*}; \quad r^* = \frac{R_1r}{R_1 + r} + \frac{R_2r}{R_2 + r}.\] Наложим две рассматриваемые схемы. Итоговая разность потенциалов на выводах омметра: \[\varphi_A - \varphi_B = (\varphi_A - \varphi_B)^{(1)} + (\varphi_A - \varphi_B)^{(2)} = \pm\mathcal{E},\] а сила тока \[I_{AB} = I_{AB}^{(1)} + I_{AB}^{(2)} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{r^*}.\] Тогда показание омметра: \[R = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{I_{AB}} = r^* = \frac{R_1r}{R_1 + r} + \frac{R_2r}{R_2 + r} = \sqrt{R_1R_2}.\] Получили, что через омметр не течёт ток от источника \(U_0\). Следовательно, омметр показывает эквивалентное сопротивление \(r^*\) вне зависимости от полярности подключения. \[R = \sqrt{R_1R_2}.\]

Идеальный амперметр — это провод: какие точки схемы при этом оказываются под одним потенциалом? Перерисуйте схему и найдите токи через резисторы, потом разберитесь, какие токи идут через амперметры.

\(A_1\) показывает 18 А, \(A_2\) — 12 А.

Вначале найдём токи через резисторы. При расчёте этих токов амперметры можно заменить проводами с нулевым сопротивлением. Значит, потенциалы точек \(А\), \(В\) и \(Б\), \(Г\) попарно равны.

Расставим токи в схеме с учётом закона Ома и закона сохранения заряда (см. рис.).

Амперметры \(A_1\), \(A_2\) будут показывать токи 18 А, 12 А соответственно.

Через идеальный амперметр можно считать, что нет падения напряжения, а через идеальный вольтметр ток не идёт. Какие резисторы при этом оказываются соединены параллельно, а какой выпадает из цепи?

Амперметр показывает \(1\text{ А}\), вольтметр — \(8\text{ В}\).

Так как амперметр идеальный, следовательно, через «нижний» резистор \(R\) ток не течёт. Общее сопротивление цепи: \[R_{\text{общ}} = 4R + \frac{R}{2} = 4{,}5R = 4{,}5\text{ Ом}.\]

Ток, протекающий через батарейку, равен \(2\text{ А}\). Показание амперметра равно \(1\text{ А}\). Показание вольтметра \(8\text{ В}\).

Идеальный вольтметр тока не пропускает, поэтому токи через \(R_1\) и \(R_2\) одинаковы; по показанию вольтметра найдите разность потенциалов между его выводами через токи в ветвях.

1) \(100\) мА;  2) \(150\) мА;  3) \(20\) Ом.

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление: посмотрите, какие резисторы он замыкает накоротко, и перерисуйте схему.

1) \(10\) мА;  2) \(5\) В.

Замените амперметры проводами: какие точки схемы окажутся при этом под одним потенциалом? Найдите токи через резисторы, а затем по закону сохранения заряда токи через амперметры.

\(A_1\) показывает 10 мА, \(A_2\) — 20 мА, \(A_3\) — 30 мА.

Вначале найдём токи через резисторы. При расчёте этих токов амперметры можно заменить проводами с нулевым сопротивлением. Значит, потенциалы точек \(C\), \(D\), \(E\) одинаковы. Расставим токи в схеме с учётом закона Ома и закона сохранения заряда (см. рис.). Амперметры \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) будут показывать токи 10 мА, 20 мА, 30 мА соответственно.

Идеальные амперметры — проводники без сопротивления: объедините точки цепи, соединённые ими, и перерисуйте схему.

1) 24 мА;  2) 24 мА.

Идеальные амперметры можно заменить проводами, а идеальные вольтметры — убрать из схемы. Что тогда получится из цепи?

1) \(U_{AB} = 8\) В;  2) \(R = 1\) кОм;  3) \(I_1 = I_2 = 1\) мА.

После преобразований цепь сводится к параллельному соединению резисторов сопротивлением \(4R\), поэтому сопротивление цепи между выводами \(A\) и \(B\) равно \(R_{AB} = 2R\). Напряжение, измеряемое вольтметром, равно \(U_1 = U_{AB}/4\), откуда следует ответ на первый вопрос: \(U_{AB} = 8\) В. Сопротивление \(R\) теперь легко находится: \(R = \dfrac{U_{AB}}{2I_0} = 1\) кОм. Ток, текущий через любой из амперметров \(\mathrm{A}_1\) или \(\mathrm{A}_2\), равен четверти тока, текущего через амперметр \(\mathrm{A}_0\): \(I_1 = I_2 = I_0/4 = 1\) мА.

Идеальный амперметр можно заменить проводом, а идеальный вольтметр убрать из схемы. Посмотрите, из каких одинаковых по сопротивлению ветвей тогда состоит цепь.

a) \(U_{AB} = 8\) В;  b) \(R = 1\) кОм;  c) \(I_1 = I_2 = 1\) мА.

После преобразований цепь сводится к параллельному соединению резисторов сопротивлением \(4R\), поэтому сопротивление цепи между выводами \(A\) и \(B\) равно \(R_{AB} = 2R\). Напряжение, измеряемое вольтметром, равно \(U_1 = \dfrac{U_{AB}}{4}\), откуда получаем искомое напряжение: \(U_{AB} = 8\) В. Сопротивление \(R\) теперь легко находится: \(R = \dfrac{U_{AB}}{2I_0} = 1\) кОм.

Ток, текущий через любой из амперметров \(\mathrm{A}_1\) или \(\mathrm{A}_2\), равен четверти тока, текущего через амперметр \(\mathrm{A}_0\): \(I_1 = I_2 = \dfrac{I_0}{4} = 1\) мА.

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление: найдите, какие точки схемы он соединяет накоротко, и перерисуйте цепь.

1) \(I_{\text{ист}} = 7\) мА;  2) \(I_{\text{А}} = 2\) мА;  3) \(I_{\text{ист}} = 4\) мА;  4) \(I_{\text{А}} = 2\) мА.

Вольтметр — это резистор одинакового сопротивления \(R_V\): показания пропорциональны токам. Запишите правила Кирхгофа для токов через вольтметры.

\(U_1 = U_2 = 2(\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)/7 = 2\) В;  \(U_3 = (3\mathcal{E}_1 - 4\mathcal{E}_2)/7 = 1\) В;  \(U_4 = (4\mathcal{E}_1 - 3\mathcal{E}_2)/7 = 2\) В;  \(U_5 = 3(\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)/7 = 3\) В.

Упростите схему: оставьте точки, к которым подключены элементы с амперметром \(A_1\) и вольтметром, и сравните потенциалы этих точек, используя симметрию трёх одинаковых ветвей.

\(I_1 = 0\).

Упростив схему, приходим к картине, изображённой на рисунке, где к точкам \(A\), \(B\) и \(C\) подключены два резистора с сопротивлениями \(R\), резистор с сопротивлением \(2R\), амперметр \(A_1\) и вольтметр (эти элементы не изображены на рисунке).

Из симметрии следует, что потенциалы точек \(A\), \(B\) и \(C\) равны. Следовательно, показание амперметра \(A_1\) равно \(I_1 = 0\), показание вольтметра равно \(U_V = 0\), а показание амперметра \(A_2\) равно \(I_2 = \dfrac{\varepsilon}{8R} = 1{,}25\) А.

В обоих случаях вольтметр показывает напряжение на \(R\), а амперметр — ток через \(R\), так что отношение показаний даёт \(R\). Сопротивление контакта найдите из закона Ома для всей цепи при крайних значениях тока.

1) \(R = \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{U_2}{I_2} = 60\) Ом;  2) от \(R_{\min} = \dfrac{U}{I_2} - R \approx 1{,}22\) Ом до \(R_{\max} = \dfrac{U}{I_1} - R \approx 19{,}65\) Ом;  3) вольтметр: от \(\approx 7{,}51\) В до \(\approx 8{,}83\) В; амперметр: от \(\approx 0{,}125\) А до \(\approx 0{,}147\) А.

Идеальный вольтметр не влияет на токи, поэтому для каждого положения ключей перерисуйте схему без вольтметров и найдите токи.

1) \(10\) В;  2) \(6\) В;  3) \(10\) В;  4) \(5\) В.

Левый и правый узлы соединены проводом, значит, это один узел. Между какими точками подключён омметр и как тогда соединены резисторы относительно него?

45 Ом.

Идеальный амперметр — это провод: найдите, какие точки схемы он соединяет накоротко, и перерисуйте цепь.

1) \(5\) мА;  2) \(7\) мА.

Идеальный вольтметр не меняет токов в цепи: найдите потенциалы узлов, идя по участкам с известными ЭДС, и воспользуйтесь симметрией резисторов.

1) \(12\) В;  2) \(2\) В.

Вольтметры одинаковые, а в точку \(S\) сходятся все их токи: запишите первое правило Кирхгофа для \(S\) и найдите потенциал \(S\) относительно вершин.

1) показания 1-го и 10-го вольтметров отличаются на \(\Delta V = 9U_0\);  2) вольтметр с номером \(N\) показывает напряжение \(V_N = |(N - 1009)U_0|\);  3) нулевые показания будут у 1009-го вольтметра.

Выразите показания вольтметра и амперметра через \(U_0\), \(R\), \(r\) для двух крайних значений сопротивления переменного резистора (нуль и бесконечность) и сопоставьте с границами измеренных интервалов.

\(R = 200\text{ Ом}\), \(r = 100\text{ Ом}\), \(U_0 = 6\text{ В}\).

Ток идёт по проволокам от их нижних концов до поршней, так что сопротивление цепи определяется суммой высот поршней. При смещении большого поршня на \(\Delta h\) малый смещается на \(3\Delta h\) в другую сторону. Запишите закон Ома для трёх положений поршней.

1) \(R_A = 1\) Ом;  2) \(I_0 = \dfrac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\) А;  3) от \(I_\text{min} \approx 1{,}67\) А до \(I_\text{max} \approx 3{,}22\) А.

Перемещаясь, поршни задействуют разную длину проволок, соответственно, обеспечивают изменение сопротивления цепи. Это связано еще и с тем, что площади сосудов отличаются, иначе бы эффект не наблюдался. Дело в том, что при смещении большого поршня на \(\Delta h\) вниз, малый сместится на \(3\Delta h\) вверх, и наоборот, когда большой поршень смещается на \(\Delta h\) вверх, малый сместится на \(3\Delta h\) вниз.

Для удобства дальнейшей записи введем обозначение \(\alpha\) для сопротивления одного метра проволоки. Тогда можно записать законы Ома для указанных в условии задачи положений поршней. Когда на поршнях нет грузов: \[U = I_0(2\alpha h_0 + R_A),\] когда груз на малом поршне: \[U = I_1\left(2\alpha h_0 + R_A - \frac{\alpha m}{2\rho S}\right),\] когда груз на большом поршне: \[U = I_2\left(2\alpha h_0 + R_A + \frac{\alpha m}{2\rho S}\right).\] Взяв разность двух последних уравнений, получаем

\[U(I_2 - I_1) = I_1I_2\frac{\alpha m}{\rho S}.\] Откуда \[\alpha = \frac{U(I_2 - I_1)\rho S}{I_1I_2m} = 20\text{ Ом/м}.\] И, воспользовавшись первым законом Ома, получим ответ

\[R_A = \frac{U}{I_0 - 2\alpha H_0} = 1\text{ Ом}.\] Из законов Ома для положений системы с грузами можно получить \[U(I_1 + I_2) = 2I_1I_2(2\alpha h_0 + R_A).\] Учитывая закон Ома, когда нет поршней, получим

\[I_0 = \frac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\text{ А}.\] Максимальный ток в цепи будет при минимальном сопротивлении, то есть, когда задействована минимальная длина проволок. Это произойдет в нижнем положении малого поршня: \[I_\text{max} = \frac{U}{\frac43\alpha h_0 + R_A} \approx 3{,}22\text{ А}.\] Минимальный ток напротив будет при максимальном сопротивлении, то есть, когда задействована наибольшая длина проволок. Это произойдет в верхнем положении малого поршня: \[I_\text{min} = \frac{U}{\frac83\alpha h_0 + R_A} \approx 1{,}67\text{ А}.\]

Нулевой ток через амперметр — условие баланса моста: статическое сопротивление \(U/I\) того, что подключено к \(A\) и \(B\), должно равняться \(R_1R_2/R_3\), а ток через него пропорционален \(I_0\). Для последовательных лампы и диода это условие — квадратное уравнение относительно \(\sqrt{I}\); пригодится теорема Виета.

1) \(I_{03} = \left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2\);  2) \(I_{04} = \dfrac{I_{01}I_{02}}{\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2}\).

Пусть сила тока источника равна \(I_0\). Показания амперметра равны нулю при сбалансированном мосте, сила тока через резистор \(R_2\) (и через нелинейный элемент, подключённый к точкам \(A\) и \(B\)) равна: \[I_{AB} = I_0\frac{R_3}{R_2 + R_3}.\] Сила тока через резисторы \(R_1\) и \(R_3\) равна: \[I_1 = I_3 = I_0\frac{R_2}{R_2 + R_3}.\] Тогда напряжение между точками \(A\) и \(B\) равно: \[U_{AB} = I_0\frac{R_2R_1}{R_2 + R_3}.\] Введём статическое сопротивление нелинейного элемента, подключённого к точкам \(A\) и \(B\): \[R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I_{AB}},\] где \(I_{AB}\) — сила тока, протекающего через элементы, подключённые к точкам \(A\) и \(B\). В таком случае, показания амперметра равны нулю, если \(R_{AB}R_3 = R_1R_2\). Вольтамперные характеристики лампы и диода задаются соотношениями: \[I_\text{л} = \alpha U_\text{л}^{2/3}, \quad I_\text{д} = \beta U_\text{д}^2,\] или, выражая напряжение через ток: \[U_\text{л} = \frac{I_\text{л}^{3/2}}{\alpha^{3/2}}, \quad U_\text{д} = \frac{\sqrt{I_\text{д}}}{\sqrt\beta}.\] Статическое сопротивление лампы и диода соответственно равны: \[R_\text{л} = \frac{U_\text{л}}{I_\text{л}} = \frac{I_\text{л}^{1/2}}{\alpha^{3/2}}; \quad R_\text{д} = \frac{U_\text{д}}{I_\text{д}} = \frac{1}{\sqrt{I_\text{д}\beta}}.\] Тогда при их последовательном соединении сопротивление выражается следующим образом: \[R_{AB} = R_\text{л} + R_\text{д} = \frac{\sqrt{I_{AB}}}{\alpha^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{\beta I_{AB}}}.\] Это уравнение сводится к квадратному, для решения которого используем теорему Виета: \[I_{AB} - R_{AB}\alpha^{3/2}\sqrt{I_{AB}} + \frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt\beta} = 0;\] \[\sqrt{I_{AB1}I_{AB2}} = \frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt\beta}, \quad \sqrt{I_{AB1}} + \sqrt{I_{AB2}} = \alpha^{3/2}R_{AB}.\] Так как \[I_{AB1} = I_{01}\frac{R_3}{R_2 + R_3}, \quad I_{AB2} = I_{02}\frac{R_3}{R_2 + R_3},\] то \[\alpha^{3/2} = \frac{\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}}{R_{AB}}\sqrt{\frac{R_3}{R_2 + R_3}}, \quad \sqrt\beta = \frac{\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}}{\sqrt{I_{01}I_{02}}\,R_{AB}}\sqrt{\frac{R_2 + R_3}{R_3}}.\] Статическое сопротивление лампы равно \(R_{AB} = R_1R_2/R_3\) при силе тока через неё: \[I_\text{л} = \frac{R_3}{R_2 + R_3}\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2.\] Тогда ток через источник: \[I_{03} = \left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2.\] Статическое сопротивление диода равно \(R_{AB} = R_1R_2/R_3\) при силе тока через него: \[I_\text{д} = \frac{R_3}{R_2 + R_3}\,\frac{I_{01}I_{02}}{\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2}.\] Тогда ток через источник: \[I_{04} = \frac{I_{01}I_{02}}{\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2}.\]

Подключённые к узлам сетки идеальные амперметры и провода можно считать проводами: некоторые узлы окажутся при этом эквипотенциальными. Перерисуйте схему в виде последовательных и параллельных соединений.

Показания амперметров равны \(12\) мА, \(6{,}5\) мА и \(12\) мА; показания вольтметров равны \(3\) В.