Почему цикл Карно лучше других?

КПД считайте как \(A/Q_{\text{получ}}\): работа равна площади цикла, теплота подводится только на тех участках, где газ получает тепло; выразите всё через \(\beta=T_1/T_0\).

1.1) \(\eta=\frac{2(\sqrt\beta-1)}{3+5\sqrt\beta}\to0{,}4\); 2.1) \(\eta=\frac{\sqrt\beta-1}{2(\sqrt\beta+1)}\to0{,}5\); 3.1) \(\eta=1-\frac{5(\beta^{3/5}-1)}{3(\beta-1)}\to1\); 4) \(\eta_{\text{Карно}}=1-1/\beta\) — наибольший КПД при заданных \(T_0\) и \(T_1\).

1. Квадратный цикл.

Так как цикл «квадратный», то объем и давление газа возрастают в пределах цикла в одно и тоже число раз. Их произведение (пропорциональное температуре) возрастает в \(\beta\) раз, поэтому максимальные объем и давление (в состоянии 3) находятся по формулам

\[V_3 = \sqrt{\beta} V_0, \quad P_3 = \sqrt{\beta} P_0\tag{1}\]

Газ получает теплоту на участках 1-2 и 2-3.

Суммарное количество теплоты, полученное газом равно

\[Q_1 = \frac{3}{2} R T_0 \left( \sqrt{\beta} - 1 \right) + \frac{5}{2} R T_0 \left( \beta - \sqrt{\beta} \right) =\]

\[= \frac{R T_0}{2} \left( \sqrt{\beta} - 1 \right) \left( 3 + 5 \sqrt{\beta} \right)\tag{2}\]

Работа совершенная газом за цикл числено равна площади цикла:

\[A = P_0 V_0 \left( \sqrt{\beta} - 1 \right)^2 = R T_0 \left( \sqrt{\beta} - 1 \right)^2.\tag{3}\]

Следовательно, КПД цикла равен

\[\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{R T_0 \left( \sqrt{\beta} - 1 \right)^2}{\frac{R T_0}{2} \left( \sqrt{\beta} - 1 \right) \left( 3 + 5 \sqrt{\beta} \right)} = \frac{2 \left( \sqrt{\beta} - 1 \right)}{\left( 3 + 5 \sqrt{\beta} \right)}.\tag{4}\]

Как и следовало ожидать, при \(\beta = 1\) КПД обращается в нуль, а при возрастании \(\beta\) стремится к предельному значению \(\overline{\eta} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). Для построения графика полученную зависимость удобно представить в виде:

\[\eta = \frac{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{\beta}} \right)}{\left( \frac{3}{\sqrt{\beta}} + 5 \right)}.\tag{5}\]

График этой зависимости показан на бланке (кривая - 1)

2. Треугольный цикл

Расчет КПД проводится аналогично. Газ получает теплоту только на участке 1-2. По первому закону термодинамики, это количество теплоты равно

\[Q_1 = \frac{3}{2}RT_0(\beta-1) + \frac{1}{2}P_0(1+\sqrt{\beta})V_0(\sqrt{\beta}-1) = 2P_0V_0(\beta-1)\]

Работа, совершенная за цикл:

\[A = \frac{1}{2}P_0V_0(\sqrt{\beta}-1)^2;\]

КПД цикла

\[\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{(\sqrt{\beta}-1)^2}{2(\beta-1)} = \frac{(\sqrt{\beta}-1)}{3(\sqrt{\beta}+1)+(\sqrt{\beta}-1)} = \frac{\sqrt{\beta}-1}{2(\sqrt{\beta}+1)}.\]

Предельное значение КПД в этом случае равен \(0{,}5\). Немного лучше!

3. Криволинейно-треугольный цикл.

В данном случае газ получает теплоту на участке изохорного расширения 1-2. Это количество теплоты равно

\[Q_1 = \frac{3}{2}RT_0(\beta-1).\]

Чтобы не считать работу (т.е. не интегрировать адиабату), найдем количество теплоты, отданное газом на участке 3-1. Для этого следует определить температуру газа в состоянии 3. Точки 2 и 3 соединены адиабатой, причем нам известны значения давлений в крайних точках. Поэтому запишем уравнение адиабатного процесса в координатах \((P,T)\). Из уравнения состояния идеального газа выразим \(V = \frac{RT}{P}\) и подставим в уравнение адиабаты

\[P\left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma} = const \quad \Rightarrow \quad P^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}T = const.\]

Показатель степени в этом уравнении равен \(-\frac{2}{5}\). Записывая это уравнение для состояний 2 и 3, получим

\[(\beta P_0)^{-\frac{2}{5}}\beta T_0 = P_0^{-\frac{2}{5}}T_3 \quad \Rightarrow \quad T_3 = T_0\beta^{\frac{3}{5}}.\]

Теперь можно записать выражения для количества отданной теплоты:

\[Q_2 = \frac{5}{2}RT_0\left(\beta^{\frac{3}{5}}-1\right).\]

Наконец, формула КПД обретает вид

\[\eta = 1 - \frac { Q _ { 2 } } { Q _ { 1 } } = 1 - \frac { 5 \left( \beta ^ { \frac { 3 } { 5 } } - 1 \right) } { 3 ( \beta - 1 ) } \, .\]

В этом цикле при возрастании \(\beta\) КПД стремится к 1. График этой зависимости изображается кривой 3 на бланке.

4. КПД цикла Карно, как известно равен \(\eta = 1 - \frac { T _ { 1 } } { T _ { 0 } }\), график этой зависимости – прямая линия, идущая выше всех построенных кривых.

Таким образом, при заданных максимальных и минимальных температурах цикл Карно имеет максимально возможный КПД. Ну а рисунок цикла показан на бланке, как видите, его вид весьма далек от традиционных «ромбиков», которые обычно рисуют в учебниках!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.