Хорошо, что не экспериментальная задача!

Подсказка

Упругая преграда даёт гармоническое движение автомобиля на четверти периода; манекен до срабатывания ремня или удара о колонку движется свободно со скоростью \(v_0\), а перегрузка — это ускорение в единицах \(g\).

Ответ

1.1) \(v_0=15\) м/с; 1.2) \(\tau\approx52\) мс, \(n_{\max}=45\); 2.1) \(t\approx21\) мс; 2.2) \(n\approx13\); 3.1) \(t\approx53\) мс; 3.2) \(v_1\approx13\) м/с, \(t_3\approx83\) мс; 3.3) на \(\approx3\) мс; 3.4) \(n\approx13\) (колонка), \(n\approx170\) (стекло); 3.5) \(n\approx225\).

Решение

Часть 1. Лобовое столкновение автомобиля с упругой преградой.

Так как сила, действующая на автомобиль, пропорциональна смещению автомобиля, то она может быть описана функцией (закон Гука)

\[F = kx.\tag{1}\]

Коэффициент упругости легко может быть найден из графика

\[k = \frac{4{,}5 \cdot 10^5 \text{ Н}}{0{,}5 \text{ м}} = 9{,}0 \cdot 10^5 \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\tag{2}\]

Скорость автомобиля перед столкновением находится из закона сохранения энергии:

\[\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{kS^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v_0 = S \sqrt{\frac{k}{M}} = 0{,}50 \sqrt{\frac{9{,}0 \cdot 10^5}{1{,}0 \cdot 10^3}} = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{3}\]

Закон движения автомобиля находится из уравнения второго закона Ньютона

\[Ma = -kx,\tag{4}\]

которое является уравнением гармонических колебаний. Будем считать, что в момент начала столкновения \(t = 0\), координата автомобиля равна \(x = 0\), а начальная скорость нами найдена. С учетом начальных условий, закон движения имеет вид

\[x = S \sin \omega t,\tag{5}\]

где круговая частота колебаний равна

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = 30 \text{ с}^{-1}.\tag{6}\]

Время торможения равно четверти периода колебаний

\[\tau = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4\omega} = 5{,}2 \cdot 10^{-2} \text{ с} = 52 \text{ мс}.\tag{7}\]

Зависимость скорости и ускорения автомобиля от времени имеют вид:

\[v = S\omega \cos \omega t\tag{8}\]

\[a = -S\omega^2 \sin \omega t\]

Максимальное ускорение автомобиль испытывает в последний момент торможения, оно равно

\[a_{\text{max}} = S\omega^2 = 450 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\tag{9}\]

Следовательно, максимальная перегрузка автомобиля равна

\[n = \frac{a_{\text{max}}}{g} = 45.\tag{10}\]

Часть 2. Манекен пристегнут к сидению ремнем безопасности.

Сразу после столкновения манекен продолжает двигаться свободно, перемещаясь на расстояние \(l = 2{,}0\,\text{см}\) относительно автомобиля. Для определения момента времени, когда сработает ремень безопасности можно найти из уравнения

\[v_0 t - S \sin \omega t = l\tag{11}\]

Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому следует воспользоваться приближенными методами. Предположим, что \(\omega t < 1\). В этом случае можно воспользоваться приближенной формулой

\[\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}\tag{12}\]

В этом случае решение уравнения принимает значение

\[v_0 t - S \omega t + S \frac{(\omega t)^3}{6} = l \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{\omega} \sqrt[3]{\frac{6l}{S}} \approx 0{,}021\,\text{с} = 21\,\text{мс}\tag{13}\]

Здесь учтено, что \(v_0 = S \omega\). При этом \(\omega t \approx 0{,}62\). Так, что предположение о малости этой величины оправдано.

Примечание. Расчет по формуле (13) дает значение 0,0207. Решение методом Ньютона дает значение 0,2085, что подтверждает правомерность использованного приближенного метода.

После того, как ремень натянулся, на манекен действует постоянная сила \(F\). В этот промежуток времени перегрузка манекена равна

\[n = \frac{F}{mg} = \frac{1{,}0 \cdot 10^4}{75} \approx 13\tag{14}\]

Зависимости перегрузок автомобиля и манекена от времени показаны на рисунке.

Часть 3. Манекен не пристегнут.

Чтобы определить время, когда манекен ударится о рулевую колонку, необходимо решить уравнение, аналогичное уравнению (11)

\[v_0 t - S \sin \omega t = L\tag{15}\]

В данном случае, величину \(\omega t\) нельзя считать малой. Можно провести графический анализ этого уравнения (см. рис.), но поступим проще: Предположим, что столкновение произошло после остановки автомобиля. В этом случае координата автомобиля оказывается равной \(S\). Следовательно, время движения в этом случае

равно

\[t_1 = \frac{S + L}{v_0} = 0{,}053\,c = 53\,\text{мс}\, ,\tag{16}\]

Что больше, чем время столкновения. Значит, действительно, удар о рулевую колонку произойдет после остановки автомобиля. Далее манекен ударяется о рулевую колонку. Рассчитаем скорость манекена после того, как рулевая колонка разрушится. Для этого запишем выражение для изменения кинетической энергии манекена, которое равно работе силы сопротивления со стороны рулевой колонки\(^1\):

\[\frac{mv_0^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = Fd\, .\tag{17}\]

Из этого уравнения находим

\[v_1 = \sqrt{v_0^2 - \frac{2Fd}{m}} = \sqrt{15^2 - \frac{2 \cdot 1{,}0 \cdot 10^4 \cdot 0{,}2}{75}} = 13\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\, .\tag{18}\]

Это столкновение будет продолжаться в течении промежутка времени

\[\Delta t = \frac{v_0 - v_1}{F}m = \frac{15 - 13}{1{,}0 \cdot 10^4} \cdot 75 = 0{,}015\,c = 15\,\text{мс}\, .\tag{19}\]

То есть, это столкновение закончится в момент времени

\[t_2 = t_1 + \Delta t = 68\,\text{мс}\, .\tag{20}\]

Перегрузка манекена в этом промежутке времени равна

\[n_2 = \frac{F}{mg} = 13{,}3\, .\tag{21}\]

Далее до столкновения со стеклом манекен будет двигаться свободно со скоростью \(v_1\), пройдя расстояние \(d\). Столкновение со стеклом произойдет в момент времени

\[t_3 = t_2 + \frac{d}{v_1} = 68 + \frac{0{,}2}{13} \cdot 10^3 = 83\,\text{мс}\, .\tag{22}\]

Если бы не рулевая колонка, удар манекена о лобовое стекло произошел бы в момент времени

\[t_3' = \frac{S + L + 2d}{v_0} = 80\,\text{мс}\, .\tag{23}\]

Наконец, осталось рассмотреть удар о стекло. Для оценок приме, что силы, действующая со стороны стекла примерно постоянна. Тогда ускорение, с которым движется манекен в этом приближении можно найти по формуле:

\[\Delta x = \frac{v_1^2}{2a} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{v_1^2}{2\Delta x} = 1690\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\, .\tag{24}\]

Следовательно, перегрузка во время этого удара равна

\[n_4 \approx 170\, .\tag{25}\]

Время этого удара \(\Delta t_4 = \frac{2\Delta x}{v_1} \approx 8\,\text{мс}\, .\) Поэтому манекен остановится в момент времени \(t_4 = 91\,\text{мс}\, .\) Не пристегнутый манекен столкнется со стеклом в момент времени \(t_3'\), со скоростью \(v_0\) его перегрузка в момент удара будет равна

\[n_4' = \frac{v_0^2}{2g\Delta x} = 225\, .\tag{26}\]

\(^1\) Либо равносильное кинематическое соотношение.

Удар будет продолжаться в течение промежутка

\[\Delta t_{4}^{\prime}=\frac{2 \Delta x}{v_{0}} \approx 6{,}7 \text{ мс}.\tag{27}\]

Полученные данные позволяют построить графики зависимости перегрузки от времени в ходе столкновения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.