Гарпун с нитью

Нить поднимается постепенно: по закону сохранения энергии учтите подъём центра масс поднятой части нити, проверьте, поднимется ли она вся.

В обоих случаях высота подъёма стрелы \(h\approx11\) м (\(10{,}7\) м при \(l=15\) м, \(10{,}9\) м при \(l=5\) м).

11.3 Предположим, что высота подъема стрелы меньше, чем длина привязанной нити. Тогда закон сохранения механической энергии будет иметь вид

\[\frac{mv_0^2}{2} = mgh + m_1 g \frac{h}{2},\tag{1}\]

где \(m_1 = \lambda h\) - масса поднятой веревки, \(\frac{h}{2}\) - высота, на которую поднялся центр масс веревки. Таким образом, получаем уравнение для определения высоты подъема

\[\frac{mv_0^2}{2} = mgh + \lambda g \frac{h^2}{2}.\tag{2}\]

Корни этого уравнения определяются формулой

\[h_{1{,}2} = -\frac{m}{\lambda} \pm \sqrt{\left( \frac{m}{\lambda} \right)^2 + \frac{mv_0^2}{\lambda g}}.\tag{3}\]

Отрицательный корень физического смысла не имеет, поэтому решение задачи имеет вид

\[h = \sqrt{\left(\frac{m}{\lambda}\right)^2 + \frac{m v_0^2}{\lambda g}} - \frac{m}{\lambda} \approx 10{,}7\,\text{м}.\tag{4}\]

Таким образом при длине нити \(15\,\text{м}\) часть нити останется лежать на земле, следовательно, полученное решение является верным. При длине нити \(5\,\text{м}\), полученная формула неприменима, так как вся нить поднимется в воздух. В этом случае закон сохранения энергии следует записать в виде

\[\frac{m v_0^2}{2} = m g h + \lambda l g \left(h - \frac{l}{2}\right).\tag{5}\]

Из этого уравнения определим высоту подъема

\[h = \frac{m v_0^2 + \lambda g l^2}{2 g (m + \lambda l)} \approx 10{,}9\,\text{м}.\tag{6}\]

Высота подъема, как видно оказалась несколько больше, однако, эти два результата не различимы в рамках точности данных, приведенных в условии задачи. Поэтому правильный ответ: в обоих случаях высота подъема стрелы \(h \approx 11\,\text{м}\).

Заметим, что высота подъема стрелы без нити \(h_0 = \frac{v_0^2}{2g} \approx 11{,}5\,\text{м}\) мало отличается от полученным нами результатов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.