Линза с пузырьками

Пузырьки образуют вторую, собирающую линзу в воде; сравните фокусные расстояния обеих линз и освещённости пятна и остального круга.

Пузырьки занимают около \(0{,}4\%\) площади линзы.

11.2 Так как показатель преломления материала линзы больше, чем показатель преломления воды, то такая линза, помещенная в воду, будет рассеивающей. Множество пузырьков воздуха, вкрапленных в линзу, тоже можно рассматривать как линзу, но с показателем преломления равным 1. В воде такая линза будет собирающей. Таким образом, больший светлый круг образован лучами, преломившимися в основном материале линзы, а более яркий кружок - лучами, преломившимися в пузырьках воздуха.

Рассмотрим ход лучей, преломившихся на основном материале линзы. Крайние лучи этой группы \(AB\), \(A'B'\) образуют границу освещенной области. Так как, диаметр \(d_0\) освещенного круга \(BB'\) в два раза больше диаметра \(d\) линзы \(AA'\), фокусное расстояние \(F_0\) линзы(\(OF\)) равно расстоянию \(a\) между линзой и экраном (\(OD\)). Как известно, фокусное расстояние линзы определяется по формуле

\[\frac{1}{F} = (n'-1)(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}),\tag{1}\]

где \(R_1, R_2\) - радиусы кривизны преломляющих поверхностей, \(n'\) - относительный показатель преломления линзы (относительно среды). Поэтому отношение фокусных расстояний основной линзы \(F_0\) и линзы «пузырьковой» \(F_1\), вычисляется по формуле

\[\frac{F_1}{F_0} = \frac{\frac{n_0}{n_1} - 1}{\frac{1}{n_1} - 1} = \frac{n_0 - n_1}{1 - n_1}.\tag{2}\]

Учитывая, что \(F_0 = -a\) (линза рассеивающая!), вычислим фокусное расстояние воздушной линзы \(F_1 = a \frac{n_0 - n_1}{n_1 - 1} \approx 44 \text{ см}\). Теперь с помощью рисунка можем выразить диаметр более яркого пятна \(CC'\)

\[d_1 = d \frac{F_1 - a}{F_1}.\tag{3}\]

Обозначим падающий на линзу световой поток \(\Phi\), тогда поток света, преломившегося в пузырьках, будет равен \(\Phi_1 = \varepsilon \Phi\) (где \(\varepsilon\) доля площади линзы занимаемой пузырьками); световой поток, преломившийся в основном материале линзы \(\Phi_0 = (1 - \varepsilon) \Phi\). Освещенность поверхности пропорциональна световому потоку и обратно пропорциональна освещаемой площади. Поэтому освещенность светлого круга \(E_0 \sim \frac{\Phi_0}{d_0^2} \sim \frac{1 - \varepsilon}{4d^2}\). Освещенность поверхности, создаваемая лучами, преломившимися в пузырьках, \(E_1 \sim \frac{\Phi_1}{d_1^2} \sim \frac{\varepsilon}{d^2} \left( \frac{F_1}{F_1 - a} \right)^2 \approx 120 \frac{\varepsilon}{d^2}\). Отношение освещенностей центрального пятна и остального круга, выражается формулой

\[\eta = \frac{E_0 + E_1}{E_0} = 1 + \frac{E_1}{E_0} \approx 1 + 480 \frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}.\]

Из этой формулы определяем величину \(\varepsilon \approx 0{,}4\%\)

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.