Труба с водой

Толщину линзы объектива найдём из геометрических соображений (рис. 235). Действительно, \[r_1^2 = (2R_1 - h)\,h \approx 2R_1 h, \qquad h = r_1^2/(2R_1),\] где \(R_1\) — радиус кривизны объектива.

Запишем равенство оптических путей \(ABF\) и \(CDF\) в случае, когда в трубу налита вода: \[(f_1 - h)\,n_{\text{в}} + 2hn_{\text{ст}} = n_{\text{в}}l_1 + h.\] Здесь \(f_1\) — фокусное расстояние линзы объектива, когда налита вода.

Подставляя значения \(h\) и \(l_1 = \sqrt{f_1^2 + r_1^2} \approx f_1 + r_1^2/(2f_1)\), получим \[\frac{r_1^2}{2f_1}\,n_{\text{в}} = \frac{r_1^2}{2R_1}\left[(n_{\text{ст}} - 1) + (n_{\text{ст}} - n_{\text{в}})\right].\] Отсюда \[f_1 = \frac{R_1 n_{\text{в}}}{(n_{\text{ст}} - 1) + (n_{\text{ст}} - n_{\text{в}})}.\] В случае, когда в трубе нет воды, фокусное расстояние линзы объектива равно \[f_1^{(0)} = \frac{R_1}{2(n_{\text{ст}} - 1)}.\] Поэтому \[f_1 = f_1^{(0)}\,\frac{2(n_{\text{ст}} - 1)\,n_{\text{в}}}{(n_{\text{ст}} - 1) + (n_{\text{ст}} - n_{\text{в}})}.\] Аналогичный расчёт для фокусных расстояний \(f_2\) (с водой) и \(f_2^{(0)}\) (без воды) линзы окуляра даёт следующий результат: \[f_2 = f_2^{(0)}\,\frac{2(n_{\text{ст}} - 1)\,n_{\text{в}}}{(n_{\text{ст}} - 1) + (n_{\text{ст}} - n_{\text{в}})}.\] Таким образом, \[L = f_1 + f_2 = (f_1^{(0)} + f_2^{(0)})\,\frac{2(n_{\text{ст}} - 1)\,n_{\text{в}}}{(n_{\text{ст}} - 1) + (n_{\text{ст}} - n_{\text{в}})}.\] Так как \(f_{10}^{(0)} + f_{20}^{(0)} = L_0\), то искомое расстояние между объективом и окуляром равно \[L = L_0\,\frac{2(n_{\text{ст}} - 1)\,n_{\text{в}}}{2n_{\text{ст}} - n_{\text{в}} - 1} = 30\text{ см}.\]