Подзорная труба Кеплера

Рассматриваемая в задаче подзорная труба — системы Кеплера. Угловое увеличение \(k = F/f\), поэтому фокусное расстояние окуляра равно \(f = F/k = 2{,}5\) см. При приближении рассматриваемого предмета из бесконечности до минимально возможного расстояния \(a\) изображение предмета в объективе будет перемещаться из фокальной плоскости в сторону окуляра на расстояние \(x\), которое можно найти по формуле линзы: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{F + x} = \frac{1}{F}, \qquad \frac{1}{F + x} = \frac{a - F}{aF}, \qquad x = \frac{aF}{a - F} - F \approx \frac{F^2}{a},\] т. к. \(a \gg F\). Таким образом, надо найти \(x\). Окуляр трубы — лупа; при рассматривании предметов через лупу ненапряжённым, т. е. аккомодированным на бесконечность, глазом предмет должен располагаться в фокальной плоскости лупы. Искомое расстояние \(x\) равно смещению фокальной плоскости окуляра при его настройке; при этом, очевидно, окуляр надо отодвигать от объектива.

Как видно из рис. 229, при рассматривании бесконечно удалённых предметов через сдвинутый окуляр пучок света на выходе из окуляра будет сходящимся. При падении на трубу параллельного пучка лучей такое положение окуляра необходимо для дальнозоркого глаза, оптическая сила которого в ненапряжённом состоянии недостаточна для собирания параллельного пучка света на сетчатке. Максимальный сдвиг окуляра соответствует оптической силе \(D_+ = +10\) дптр. Очки с такой оптической силой собирают параллельный пучок света на расстоянии \(b = 1/D_+\). Это расстояние \(b\) и определяет расстояние \(x\): \[\frac{1}{f + x} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}, \qquad \text{отсюда}\qquad x = \frac{f^2}{b - f} = \frac{5}{6}\text{ см}.\] Искомое расстояние равно \[a \approx \frac{F^2}{x} = \frac{0{,}25\cdot 6\text{ м}^2}{5\cdot 10^{-2}\text{ м}} = 30\text{ м}.\]