Паук и муха на шаре

Пусть паук находится в точке \(A\) (рис. 236), расположенной над верхней точкой \(D\) шара. Поверхность шара, соответствующая дуге окружности \(BDB'\), является видимой для паука. Точки \(B\) и \(B'\) — точки пересечения касательных, проведённых из точки \(A\) к поверхности шара. Луч \(AB\) будет распространяться внутри шара по отрезку \(BC\). Угол \(\alpha\) находится из условия \[\sin\alpha = 1/n_{\text{ст}},\] где \(n_{\text{ст}}\) — коэффициент преломления стекла. Этот луч выйдет из шара по направлению \(CA'\). Поэтому часть поверхности шара, соответствующая дуге \(CD'C'\), будет также видимой (для примера показано прохождение луча \(AKLM\)).

Невидимой для паука будет поверхность шарового пояса, которой соответствуют дуги \(BC\) и \(B'C'\).

Угол \(\gamma\) определяется из условия \[\cos\gamma = R/(R + h),\] где \(R\) — радиус шара, \(h\) — высота паука над поверхностью шара. Так как по условию \(R \gg h\), то \(\gamma \approx 0\). Заметим теперь, что \(\beta = \pi - 2\alpha\), а \(\sin\alpha = 1/n_{\text{ст}}\). Поэтому \[\beta = \pi - 2\arcsin(1/n_{\text{ст}}) \approx \pi/2.\] Итак, видимой для паука является противоположная для него половина поверхности шара; там и должна находиться муха.