Полуцилиндрическая линза для панели

Найдите предельный угол падения, при котором луч ещё выходит из линзы, и точку пересечения предельного луча с оптической осью. Отдельно рассмотрите параксиальные лучи, для которых линза тонкая.

Лучи падают нормально на плоскую поверхность и не преломляются. На криволинейной поверхности по закону Снеллиуса \(n\sin\beta = \sin\alpha\). Предельный луч выходит вдоль поверхности: \(\sin\alpha_{кр} = 1\), \(\beta_{кр} = \arcsin\dfrac{1}{n} \approx 38{,}7^\circ\). Для произвольного луча точка его пересечения с оптической осью \(OC = R\left(\cos\beta + \sin\beta\,\text{ctg}(\alpha-\beta)\right)\). Для предельного луча \[OC_1 = R\left(\cos\beta_{кр} + \sin\beta_{кр}\tan\beta_{кр}\right) = \frac{nR}{\sqrt{n^2-1}}.\] В параксиальном приближении линза тонкая, с радиусами \(R_1 = \infty\) и \(R_2 = R\): \[OC_2 = R + \frac{1}{n-1}\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)^{-1} = \frac{nR}{n-1}.\] Фокальный отрезок \[C_1C_2 = OC_2 - OC_1 = \frac{nR}{\sqrt{n-1}}\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).\] Положение панели найдём из подобия треугольников \(ABC_1\) и \(DEC_1\), где \(DE = L\) – половина ширины панели: \(DC_1 = \dfrac{L}{\sqrt{n^2-1}}\). По симметрии \(C_1G = DC_1\), поэтому панель должна лежать между точками \(D\) и \(G\).