Рыбак и залив

Задача является аналогом оптической задачи, в которой рассматривается преломление плоской волны в призме. При этом лучу света, идущему от точки \(A\) в точку \(B\) (рис. 240), согласно законам геометрической оптики, требуется наименьшее время по сравнению со всеми другими траекториями.

Рыбак должен двигаться по траектории <<луча света>>, т. е. подойти к точке \(E\) залива под углом \(\gamma\), переплыть залив в лодке перпендикулярно биссектрисе угла \(\alpha\) и двигаться далее по суше в направлении к точке \(B\).

Угол \(\gamma\) найдём из закона преломления (\(n = 2\)): \[\sin\gamma = n\sin(\alpha/2).\] Расстояние \(a\) равно \[a = h\operatorname{tg}\gamma = h\,\frac{n\sin(\alpha/2)}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}}.\] Расстояние \(b\) найдём из уравнения \(a + b = \sqrt{l^2 - h^2}\). Отсюда \[b = \sqrt{l^2 - h^2} - h\,\frac{n\sin(\alpha/2)}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}}.\] Если \(b > 0\), т. е. \(l^2 - h^2 > h^2\dfrac{n^2\sin^2(\alpha/2)}{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}\), то рыбак должен воспользоваться лодкой. Отдельные участки пути при этом будут равны \[EK = p = b\sin\frac{\alpha}{2} = \left(\sqrt{l^2 - h^2} - h\,\frac{n\sin(\alpha/2)}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}}\right)\sin\frac{\alpha}{2},\] \[AE = q = \frac{h}{\cos\gamma} = \frac{h}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}}.\] Итак, если \(\dfrac{l^2 - h^2}{h^2} > \dfrac{n^2\sin^2(\alpha/2)}{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}\), то искомое время равно \[t = 2\left(\frac{q}{v} + \frac{p}{v/n}\right) =\] \[= \frac{2h}{v}\left(\frac{1}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}} + \frac{n\sqrt{l^2 - h^2}\sin(\alpha/2)}{h} - \frac{n^2\sin^2(\alpha/2)}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}}\right) =\] \[= \frac{2h}{v}\left(\sqrt{1 - n^2\sin^2\frac{\alpha}{2}} + \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{h}\,n\sin\frac{\alpha}{2}\right).\] Если \(\dfrac{l^2 - h^2}{h^2} \leqslant \dfrac{n^2\sin^2(\alpha/2)}{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}\), то \(t = \dfrac{2l}{v}\).