Зеркала друг против друга

Изображение предмета в плоском зеркале — за зеркалом на том же расстоянии. Выстройте цепочку изображений ободка зеркала вдоль оси: их угловые размеры убывают, и различимы они, пока угловой зазор между соседними не меньше разрешения глаза.

Около \(18\) отражений: \(k(k+1)\le \dfrac{d}{2L\varepsilon}\approx344\).

Что происходит. В зеркале \(A\) наблюдатель видит ободок противоположного зеркала \(B\), в нём — ободок \(A\), потом снова \(B\), и так далее: цепочку всё более мелких колец, вложенных друг в друга. Каждое следующее кольцо — отражение предыдущего. Главная идея — развернуть ход лучей: изображение предмета в плоском зеркале лежит за зеркалом на таком же расстоянии, поэтому кольца выстраиваются вдоль оси. Кольца можно насчитать, пока угловой зазор между соседними не меньше разрешения глаза.

Обозначения. \(d=1\) м — диаметр зеркала, \(R=d/2\); \(L=5\) м — расстояние между зеркалами; \(\varepsilon=1'\approx2{,}9\cdot10^{-4}\) рад — угловое разрешение; \(x\) — расстояние от глаза до зеркала \(A\), на которое он смотрит. Кольцо \(k\) — ободок после \(k\) отражений (\(k=0\) — сам ободок \(A\)).

1. Положение колец. Ободок \(B\) лежит от \(A\) на расстоянии \(L\), его изображение в \(A\) — на расстоянии \(L\) за \(A\), то есть на расстоянии \(x+L\) от глаза. Изображение ободка \(A\) в зеркале \(B\) лежит на \(L\) за \(B\), а значит, его изображение в \(A\) ещё дальше. Повторяя, получаем кольца на расстояниях \(x+kL\) от глаза, одинакового радиуса \(R\). Если смотреть из точки напротив (глаз у зеркала \(B\), \(x=L\)), расстояния \((k+1)L\).

2. Угловые размеры. Радиус \(R=0{,}5\) м много меньше расстояний, углы малы. Кольцо \(k\) видно под углом \(\theta_k=R/(x+kL)\) от оси. Зазор между соседними кольцами: \[\theta_{k-1}-\theta_k=\frac{R\,L}{\bigl(x+(k-1)L\bigr)\bigl(x+kL\bigr)} .\]

3. Условие различимости. Кольцо \(k\) отличимо от соседнего, если зазор не меньше \(\varepsilon\). При \(x=L\): \[\frac{R}{L\,k(k+1)}\ge\varepsilon\ \Rightarrow\ k(k+1)\le\frac{R}{L\varepsilon}=\frac{0{,}5}{5\cdot2{,}9\cdot10^{-4}}\approx344 .\] Подходит \(k=18\) (\(18\cdot19=342\)), а \(k=19\) не подходит (\(19\cdot20=380\)). Приближённо \(k\approx\sqrt{R/(L\varepsilon)}\approx18{,}5\).

Положение наблюдателя почти не важно: при \(x=L/2\) условие \(k^2-\tfrac14\le344\) тоже даёт \(k=18\), и лишь у самого зеркала \(A\) (\(x\to0\)) получается \(19\).

Обратите внимание: считать нужно разрешимость соседних колец, а не размер каждого. Если искать кольцо, видимое под углом \(\varepsilon\), получилось бы \(k\sim R/(L\varepsilon)\approx340\), но уже при \(k\approx18\) кольца сливаются: зазор между ними во много раз меньше самого кольца.

Ответ. Можно насчитать около \(18\) вложенных отражений (при заданных данных от \(18\) до \(19\) в зависимости от положения наблюдателя).

Проверка. Число \(k\) безразмерно: \(R/(L\varepsilon)\) — отношение длин на угол. Чем ближе зеркала или чем острее глаз, тем больше колец: \(k\propto1/\sqrt{L\varepsilon}\). При \(L\to\infty\) кольца сливаются сразу (\(k\to0\)): зеркало видно только само.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.