Гонки по круговой трассе

Единственная горизонтальная сила — сцепление колёс с дорогой, и она ограничена. Часть её нужна, чтобы держать мотоциклиста на окружности, остаток идёт на разгон. Найдите, как связаны путь и скорость, через угол между силой и касательной.

Одна восьмая круга (дуга \(45^\circ\), путь \(\pi R/4\)); ответ не зависит от коэффициента сцепления.

Что происходит. Мотоциклист разгоняется по окружности радиуса \(R\). Единственная горизонтальная сила, действующая на него, — сила сцепления колёс с трассой, и она не может быть больше \(\mu mg\), где \(\mu\) — коэффициент сцепления. Эта сила одновременно разгоняет мотоциклиста вдоль траектории и удерживает его на окружности. Чтобы разгоняться как можно быстрее, нужно в каждый момент использовать силу сцепления целиком. Главная идея — записать второй закон Ньютона вдоль касательной и вдоль радиуса и связать путь со скоростью.

Обозначения. \(m\) — масса мотоциклиста с мотоциклом, \(v\) — скорость, \(s\) — путь по дуге, \(\theta=s/R\) — угол дуги, пройденной от старта, \(\psi\) — угол между силой сцепления \(\vec F\) и касательной к трассе, \(F_\tau=F\cos\psi\) и \(F_n=F\sin\psi\) — её составляющие вдоль касательной и к центру.

1. Законы для произвольного момента. Запишем второй закон Ньютона для центра масс мотоциклиста в проекциях на касательную и на радиус к центру (наклон мотоцикла и размеры не учитываем): \[m\frac{dv}{dt}=F\cos\psi,\qquad m\frac{v^2}{R}=F\sin\psi .\] При заданной скорости составляющая к центру обязана быть равна \(mv^2/R\), иначе мотоциклист сойдёт с окружности. Остаток силы идёт на разгон, и он наибольший, когда сила сцепления предельная: \(F=\mu mg\). Тогда \[\frac{dv}{dt}=\mu g\cos\psi,\qquad \frac{v^2}{R}=\mu g\sin\psi .\] В начале \(v=0\), поэтому \(\psi=0\): вся сила направлена вдоль скорости. Скорость растёт, \(\psi\) растёт. Максимальная скорость — когда ускорение вдоль траектории обратилось в нуль, то есть \(\cos\psi=0\), \(\psi=\pi/2\), и \(v_{\max}^2=\mu gR\).

2. Путь. Скорость и угол связаны вторым уравнением: \(v^2=\mu gR\sin\psi\). Продифференцируем: \(2v\,dv=\mu gR\cos\psi\,d\psi\). За малый промежуток \(dt\) путь \(ds=v\,dt\), а \(dv=\mu g\cos\psi\,dt\). Выразим \(ds\) через \(v\,dv\): \[ds=\frac{v\,dv}{\mu g\cos\psi}=\frac{\mu gR\cos\psi\,d\psi}{2\mu g\cos\psi}=\frac{R}{2}\,d\psi .\] Сложим такие промежутки от старта (\(\psi=0\)) до момента максимальной скорости (\(\psi=\pi/2\)): \[s=\frac R2\cdot\frac\pi2=\frac{\pi R}{4}.\] Заодно \(\theta=\psi/2\), значит \(v^2=\mu gR\sin2\theta\): скорость растёт с углом дуги по этому закону (график ниже), а в точке \(\theta=\pi/4\) достигает максимума.

3. Часть круга. Длина круга \(2\pi R\), значит пройдена доля \[\frac{s}{2\pi R}=\frac{\pi R/4}{2\pi R}=\frac18 .\] Это дуга \(45^\circ\).

Обратите внимание: нельзя считать, что вся сила сцепления идёт на разгон (\(a=\mu g\)). Тогда мотоциклист вылетел бы с трассы, потому что для окружности нужна ещё составляющая \(mv^2/R\). По той же причине нельзя считать, что сразу \(v^2/R=\mu g\): так и выглядит конечная скорость, но не путь до неё.

Ответ. Пройдена \(\dfrac18\) круга: \(s=\dfrac{\pi R}{4}\), дуга \(45^\circ\); ни \(\mu\), ни \(m\), ни \(R\) в ответ не входят.

Проверка. Доля безразмерна, как и должно быть. В начале пути \(\theta\ll1\): \(v^2=\mu gR\sin2\theta\approx2\mu gR\theta=2(\mu g)s\) — это формула равноускоренного разгона с ускорением \(\mu g\), как и положено, пока вся сила идёт вдоль скорости. В конце \(v^2=\mu gR\) — максимальная скорость на окружности радиуса \(R\) при данном сцеплении.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.