Шарик на нити у кубика

Нить наматывается на кубик, и шарик движется по дугам в четверть окружности, радиус которых уменьшается на \(a\); скорость по модулю постоянна.

\(\tau=\dfrac{\pi l}{4v}\left(\dfrac la+1\right)\approx2{,}0\cdot10^2\) с.

10-1. Траектория шарика будет представлять набор дуг в четверть окружности, радиусы которых уменьшаются на длину ребра кубика \(a\). Число этих дуг \(N = \frac{l_0}{a} + 1\). Следовательно, длина траектории

\[S = \sum_{k=0}^{N} (l_0 - ka) \frac{\pi}{2}.\]

Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, получим

\[S = \frac{1}{4} \pi l_0 \left( \frac{l_0}{a} + 1 \right).\]

Из закона сохранения энергии следует, что скорость шарика постоянна, поэтому время движения

\[\tau = \frac { S } { \nu } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \pi l _ { o } } { \nu } \bigg ( \frac { l _ { o } } { a } + 1 \bigg ) .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.