Атмосфера астероида

Оцените высоту атмосферы как высоту, на которой давление падает в \(e\) раз; ускорение свободного падения возьмите на поверхности астероида.

\(T=\dfrac{GM h\mu}{R_{\text{г}}R^2}\), где \(R_{\text{г}}\) — универсальная газовая постоянная, \(R\) — радиус астероида.

10-3. Прежде всего отметим, что высота атмосферы понятие в некотором смысле условное, так как давление и плотность газа над поверхностью астероида изменяется и стремится к нулю только на бесконечно больших высотах. Однако, оценку толщины слоя газа можно получить из следующих соображений. При изменении высоты на величину \(\Delta h\) давление изменяется на величину

\[\Delta P = -\rho g \Delta h,\tag{1}\]

где \(\rho\) - плотность газа на данной высоте, \(g\) - ускорение свободного падения на данной планете. Плотность газа находится из уравнения состояния, справедливого не только на Земле, но и на любой другой планете

\[\rho = \frac{P \mu}{R T},\tag{2}\]

где \(\mu\) - молярная масса, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура. Полагая скорость изменения давления с высотой постоянной, найдем из уравнения (1) высоту, на которой давление упадет до нуля (то есть \(\Delta P = -P\))

\[h \approx \frac { R T } { \mu g } \ .\tag{3}\]

Отметим, что для изотермической атмосферы на этой высоте давление уменьшается в \(e = 2{,}71828...\) раз. Полученная оценка высоты аналогична известной оценке времени разряда конденсатора, когда его заряд уменьшается в \(e\) раз. Ускорение свободного падения на поверхности астероида определяется формулой

\[g = G \frac { M } { r ^ { 2 } } \ ,\tag{4}\]

где \(M, r\) - масса и радиус астероида, \(G\) - гравитационная постоянная. Из соотношений (3) и (4) находим

\[T = \frac { G M h \mu } { R r ^ { 2 } } .\]

Конечно необходимо признать, что условие данной задачи может быть воспринято неоднозначно. Подробное обсуждение иных подходов к данной задаче можно найти в рубрике “Одна задача” в журнале “Фокус” №3 за 1993 год.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.