Вспашка квадратного поля трактором
6/10На соревнованиях пахарей надо было как можно быстрее обработать трактором с навесными орудиями (боронами шириной 10 м) квадратный участок поля площадью 1 гектар (т.е. \(100 \times 100\) м\(^2\)). Трактор при этом мог двигаться только вперед со скоростью 2 м/с и совершать повороты с минимальным радиусом 10 м (по центру трактора) на той же скорости. Вне поля достаточно места для любых разворотов, и вся площадь поля должна быть проборонована. Предложите и нарисуйте на прилагаемом листе траекторию движения трактора, при движении по которой время, необходимое для обработки поля, будет как можно меньшим. Рассчитайте, чему равно это время.
Масштаб на листе: в 1 см — 10 м.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаШирина захвата равна 10 м, так что поле надо пройти десятью параллельными проходами. Время зависит от того, как короче развернуться вне поля между проходами: подумайте, чем разворот только дугами радиуса 10 м выгоднее петли.
ОтветЛучший из предложенных организаторами вариант (разворот только из дуг): \(t \approx 655{,}8\) с \(\approx 10\) мин. 56 с.
РешениеСуществует несколько вариантов, которые отличаются способами разворота.
Вариант 1 — разворот в виде петли, смещенной в сторону (рис. 1): \(t = 672\) с \(= 11\) мин. 12 с.
Вариант 2 — разворот в виде несмещенной петли (рис. 2): \(t \approx 668{,}1\) с \(\approx 11\) мин. 08 с.
Вариант 3 — разворот состоит только из дуг поворотов: вначале на угол \(\alpha = \arccos(3/4) \approx 41{,}4^\circ\) влево, затем на угол \(\pi + 2\alpha \approx 262{,}8^\circ\) вправо, и в конце снова на угол \(\alpha \approx 41{,}4^\circ\) влево (рис. 3). При этом \(t \approx 655{,}8\) с \(\approx 10\) мин. 56 с.
Похожие задачи
- Шарик на нити у столбика МОШ 2016/17, 8 кл.
- Вова начинает расчёты МОШ 2019/20, 9 кл.
- Перемотка ленты МОШ 2020/21, 9 кл.
- Смазанный пропеллер МОШ 2017/18, 10 кл.
- Три гонщика на мотовелотреке МОШ 2016/17, 7 кл.
- Кольцо с бусами МОШ 2020/21, 8 кл.