Бытовой холодильник

Холодильник работает против постоянной утечки тепла в камеру; утечка пропорциональна разности температур, а откачка теплоты идеальной машиной — холодильному коэффициенту Карно. Приравняйте теплоту, ушедшую в камеру за цикл, теплоте, откачанной за время работы.

Мотор будет включаться примерно каждые \(6{,}2\) мин и работать около \(2\) мин (доля времени работы \(\approx0{,}33\) вместо \(5/8\)). Максимальная температура в комнате \(\approx35\,^\circ\text{C}\).

Что происходит. Через стенки в камеру всё время течёт тепло из комнаты; его мощность \(L\) пропорциональна разности температур. Пока мотор выключен, камера медленно нагревается. Когда термостат включает мотор, машина откачивает из камеры теплоту мощностью \(q>L\), и камера остывает. Температура держится между двумя близкими значениями, поэтому за цикл теплота, пришедшая в камеру, равна теплоте, откачанной машиной. Главная идея — выразить \(L\) и \(q\) через температуры и сравнить два режима.

Обозначения. \(T_1=261\text{ К}\) — температура камеры, \(T_2\) — температура комнаты, \(P\) — мощность мотора (одна и та же), \(L\) — мощность притока тепла в камеру, \(q\) — мощность откачки теплоты при работе машины, \(C\) — теплоёмкость камеры с содержимым, \(\Delta\theta\) — размах температуры в камере между включением и выключением (его задаёт термостат, он один и тот же при любой температуре в комнате), \(t_\text{р}\) и \(t_\text{п}\) — время работы и время паузы.

1. Приток и откачка. Приток тепла через стенки пропорционален разности температур: \(L=k\,(T_2-T_1)\), \(k\) — постоянная стенок. Идеальная машина, работающая по обращённому циклу Карно, откачивает из камеры теплоту \(q\) и тратит работу мощностью \(P\) с отношением \(q/P=T_1/(T_2-T_1)\), то есть \[q=\frac{P\,T_1}{T_2-T_1}.\] Температура в камере почти постоянна, поэтому холодильный коэффициент считаем при \(T_1\).

2. Тепловой баланс камеры за цикл. Пауза: камера получает только \(L\), температура поднимается на \(\Delta\theta\), значит \(C\Delta\theta=L\,t_\text{п}\). Работа: камера получает \(L\) и отдаёт \(q\), температура опускается на то же \(\Delta\theta\), значит \(C\Delta\theta=(q-L)\,t_\text{р}\). Отсюда \[\frac{t_\text{р}}{t_\text{п}}=\frac{L}{q-L},\qquad\text{и доля времени работы }\ \frac{t_\text{р}}{t_\text{р}+t_\text{п}}=\frac{L}{q}.\]

3. Комната \(+25\,^\circ\text{C}\). Здесь \(T_2-T_1=37\text{ К}\), \(t_\text{р}=5\) мин, \(t_\text{п}=3\) мин. Доля работы \(L/q=5/8\), то есть \(q=1{,}6\,L\), и \(C\Delta\theta/L=t_\text{п}=3\) мин.

4. Комната \(+15\,^\circ\text{C}\). Теперь \(T_2-T_1=27\text{ К}\). Приток уменьшился, откачка выросла: \[L'=L\cdot\frac{27}{37},\qquad q'=q\cdot\frac{37}{27}=1{,}6\cdot\frac{37}{27}\,L .\] Пауза: \(t'_\text{п}=\dfrac{C\Delta\theta}{L'}=3\cdot\dfrac{37}{27}\approx4{,}1\) мин. Работа: \[t'_\text{р}=\frac{C\Delta\theta}{q'-L'}=\frac{3}{1{,}6\cdot\frac{37}{27}-\frac{27}{37}}\ \text{мин}\approx\frac{3}{2{,}193-0{,}730}\ \text{мин}\approx2{,}05\text{ мин}.\] Период \(t'_\text{р}+t'_\text{п}\approx6{,}2\) мин, доля работы \(L'/q'=\dfrac58\left(\dfrac{27}{37}\right)^2\approx0{,}33\). На графике температуры камеры видно разницу: при \(+25\,^\circ\text{C}\) мотор работает 5 минут из каждых 8, а при \(+15\,^\circ\text{C}\) — около 2 минут из каждых 6,2.

Обратите внимание: доля работы упала не в \(37/27\) раза, а в \((37/27)^2\approx1{,}88\) раза. Причин две: приток тепла уменьшился в \(37/27\) раза и в такое же число раз выросла откачка, потому что холодильный коэффициент вырос.

5. Максимальная температура в комнате. Предел — мотор работает непрерывно, \(L=q\): \[k\,(T_2-T_1)=\frac{P\,T_1}{T_2-T_1}\ \Rightarrow\ (T_2-T_1)^2=\frac{P\,T_1}{k}.\] Постоянную \(P T_1/k\) найдём из режима \(+25\,^\circ\text{C}\), где \(L/q=k(T_2-T_1)^2/(PT_1)=5/8\): \[\frac{PT_1}{k}=\frac85\,(37\text{ К})^2\approx2190\text{ К}^2,\qquad T_2-T_1=\frac{37\text{ К}}{\sqrt{5/8}}\approx46{,}8\text{ К}.\] Значит \(T_2^{\max}=-12\,^\circ\text{C}+46{,}8\text{ К}\approx34{,}8\,^\circ\text{C}\approx35\,^\circ\text{C}\).

Ответ. При \(+15\,^\circ\text{C}\) мотор включается примерно каждые \(6{,}2\) мин и работает около \(2\) мин; холодильник справится при температуре в комнате не выше \(\approx35\,^\circ\text{C}\).

Проверка. Доля работы \(\dfrac{L}{q}=\dfrac58\left(\dfrac{T_2-T_1}{37\text{ К}}\right)^2\) безразмерна. При \(T_2\to T_1\) приток исчезает, а откачка растёт без предела: холодильнику нечего делать, доля \(\to0\). При \(T_2-T_1=46{,}8\) К она равна \(\dfrac58\cdot1{,}6=1\) — мотор работает непрерывно, как и задумано. Физический смысл: у холодных комнат два союзника — слабая утечка и хороший холодильный коэффициент.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.