Тепловой насос и кипящая вода

Для обратного цикла Карно \(Q_1/T_1=Q_2/T_2\). Считайте поэтапно: остывание воды, замерзание, остывание льда — на каждом этапе смотрите, сколько воды выкипело.

В сосуде 1 установится температура \(-41^\circ\text{C}\) (лёд); работа насоса \(A\approx0{,}60\text{ МДж}\).

10-3. Для идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, выполняется соотношение

\[\frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2},\tag{1}\]

где \(Q_1, Q_2\) - теплоты отданная нагревателем и полученная холодильником; \(T_1, T_2\) - температуры нагревателя и холодильника, соответственно. Это же соотношение выполняется и для холодильной машины, работающей по обратному циклу, в котором от холодильника теплоту забирают и передают нагревателю. Мы используем соотношение (1), для того чтобы рассчитать количество теплоты, забранное у холодильника.

Принцип работы холодильной машины представлен на рисунке в виде схемы: из сосуда 1, содержащего воду при температуре \(T_1\) холодильник забирает \(Q_1\) теплоты, при этом внешние силы совершают работу \(A\) и количество теплоты \(Q_2 = Q_1 + A\) передается сосуду 2, в котором находится вода при температуре \(T_2\). Так как вода в сосуде 2 находится при температуре кипения, то эта температура изменяться не будет. Вода же в сосуде 1 будет остывать, возможно, затем замерзать. Поэтому необходимо проводить расчеты поэтапно с количественными результатами на каждом этапе. Первый этап. Остывание воды до температуры замерзания. Холодильник забирает количество теплоты

\[Q_1' = c_1 m_1 \Delta t_1 = 0{,}38 \text{ МДж},\]

где \(\Delta t_1 = 30^\circ C\) - изменение температуры воды в первом сосуде. В процессе остывания температура изменяется, поэтому строго говоря, для вычисления количества теплоты переданной в сосуд 1, необходимо рассматривать процесс, разбивая его на бесконечно малые участки. Однако, так как относительное изменение абсолютной температуры не велико (порядка 10%), то мы в расчетах примем среднее значение температуры \(T_1' = 273 + 15 = 288 K\). На этом этапе сосуд 2 получит

\[Q_2' = \frac{T_2}{T_1'} Q_1' = 0{,}49 \text{ МДж}.\]

Этого количества теплоты хватит, чтобы испарить

\[\Delta m_2' = \frac{Q_2'}{r} = 0{,}22 \text{ кг}\]

воды (вся вода не испарилась - надо греть дальше). Работа, совершенная на первом этапе

\[A' = Q_2' - Q_1' = 0{,}11 \text{ МДж}.\]

Второй этап. Замерзание воды. Сосуд 1 отдаст

\[Q_1'' = \lambda m_1 = 1{,}0 \text{ МДж};\]

сосуд 2 получит

\[Q_2'' = \frac{T_2}{T_1''} Q_1'' = 1{,}37 \text{ МДж},\]

(здесь \(T_1'' = 273K\) - температура замерзания воды); при этом испарится

\[\Delta m_2'' = \frac{Q_2''}{r} = 0{,}61 \text{кг},\]

совершена работа

\[A'' = Q_2'' - Q_1'' = 0{,}37 \text{МДж}.\]

Как следует, из полученных расчетов, и после этого этапа не вся вода испарилась, осталось \(\Delta m_2''' = m_2 - \Delta m_2' - \Delta m_2'' = 0{,}17 \text{кг}\).

Третий этап. Остывание льда.

На этом этапе нам необходимо решать обратную задачу - легко найти количество теплоты, которое получит кипящая вода \(Q_2''' = r \Delta m_2''' = 0{,}38 \text{МДж}\). Требуется определить сколько теплоты отдаст лед. На этом этапе температура \(T_1\) так же изменяется, но мы по прежнему в расчетах используем ее среднее значение \(T_1''' = T_1'' - \frac{\Delta t_2}{2}\), где \(\Delta t_2\) - изменение температуры льда. Тогда \(Q_1''' = c_2 m_1 \Delta t_2\), а по формуле (1) \(Q_1''' = \frac{T_1'''}{T_2} Q_2'''\). Приравнивая эти два выражения, найдем

\[\Delta t_2 = T_1'' \left( \frac{c_2 m_1 T_2}{Q_2'''} + \frac{1}{2} \right)^{-1} = 41^\circ.\]

Таким образом, в сосуде 1 будет находится лед при температуре \(-41^\circ C\).

На третьем этапе лед отдаст \(Q_1''' = c_2 m_1 \Delta t_2 = 0{,}26 \text{МДж}\) теплоты, следовательно совершена работа

\[A''' = Q_2''' - Q_1''' = 0{,}12 \text{МДж}.\]

Итого, в процессе испарения воды будет совершена работа \(A = A' + A'' + A''' = 0{,}60 \text{МДж}\). Заметим, что количество теплоты, которое отдал сосуд 1 \(Q_1 = 1{,}64 \text{МДж}\), в два с половиной раза больше, чем совершенная работа.

Для того чтобы точно рассчитать количество теплоты, полученное сосудом два, при изменении температуры в первом сосуде необходимо рассмотреть бесконечно малый участок этого процесса. Тогда

\[dQ_2 = T_2 \frac{dQ_1}{T_1} = T_2 \frac{c_1 m_1 dT_1}{T_1},\]

интегрируя это выражение получим

\[Q _ { 2 } ^ { \prime } = c _ { 1 } m _ { 1 } T _ { 2 } \ln \frac { T _ { 1 } } { T _ { 1 } ^ { \prime \prime } } .\]

Отличие численного значения, рассчитанного по этой формуле, от полученного ранее менее чем на \(0{,}1\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.