Вес баков с водой

Изменение веса определяется ускорением центра масс системы: \(\Delta P=Ma_c\). Найдите, как зависит от времени высота центра масс.

\(\Delta P=2\rho V^2/S\) (вес увеличивается); при перекачке сверху вниз — то же самое.

10-2. Для решения данной задачи удобно воспользоваться уравнением движения для системы тел: произведение массы системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на систему. В данном случае

\[M a_c = P - Mg,\tag{1}\]

где \(M\) - масса всей системы, \(P\) - ее вес, \(a_c\) - ускорение центра масс. Когда вода (а, следовательно и центр масс) неподвижна, то вес системы \(P_0\) равен силе тяжести \(Mg\). Поэтому изменение веса при перекачке воды определяется выражением

\[\Delta P = M a_c.\tag{2}\]

При перекачке уровни воды в сосудах \(h_1\) и \(h_2\) будут изменяться, конечно, по линейному закону

\[\begin{aligned} h_1 &= h_{10} + \frac{V}{S}t \\ h_2 &= h_{20} - \frac{V}{S}t \end{aligned}\tag{3}\]

но положение центра масс всей системы будет изменяться по закону квадратичному. Действительно, высота центра масс \(Z_c\) может быть найдена из уравнения

\[MZ_c = M_0Z_0 + \rho Sh_1(l + \frac{h_1}{2}) + \rho Sh_2\frac{h_2}{2},\tag{4}\]

где \(M_0\), \(Z_0\) - масса и высота центра масс установки без воды, \(l\) - высота верхнего бака. Подставляя выражения (3), получим

\[\begin{aligned} MZ_c &= M_0Z_0 + \rho Slh_{10} + \frac{1}{2}\rho Sh_{10}^2 + \\ &+ \frac{1}{2}\rho Sh_{20}^2 + \rho V(l + h_{10} + h_{20})t + \rho\frac{V^2}{S}t^2. \end{aligned}\tag{5}\]

Из выражений (2) и (5) следует

\[\Delta P = Ma_c = 2\rho\frac{V^2}{S}\]

Заметим, что ответ не зависит от того, перекачивают воду вверх или вниз. Может быть, эта задача вам покажется более понятной, если Вы проведете аналогию с двумя грузами, подвешенными на нити, перекинутой через блок. При ускоренном движении грузов вес всей системы также изменяется. Замените грузы тяжелой однородной веревкой и Вы получите простейший механический аналог этой задачи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.