Заряженные шарики в поле

Постоянная сила \(qE\) вместе с силой тяжести даёт «эффективное» ускорение свободного падения \(g^*\); зависимость угла от заряда тогда та же, что на графике, но с изменённым параметром.

Заряд шарика \(q\approx2{,}6\cdot10^{-7}\text{ Кл}\); угол между нитями после включения поля \(\approx54^\circ\).

10-4. Рассмотрим условия равновесия шариков. На каждый из них действуют \(m\vec{g}\) - сила тяжести, \(\vec{F}\) - сила кулоновского отталкивания, \(\vec{T}\) - сила натяжения нити. Шарики будут находится в равновесии, когда суммарный момент сил, действующих на них будет равен нулю, что будет выполняться при

\[mgl\sin\theta = Fl\cos\theta.\tag{1}\]

Учитывая, что

\[F = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2l\sin\theta)^2},\tag{2}\]

получим уравнение, определяющее угол отклонения нити

\[\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}.\tag{3}\]

Приведенный в условии график, фактически является решением этого уравнения для различных значений \(q\) (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой). По этому графику можно найти величину заряда каждого шарика \(q \approx 2{,}6 \cdot 10^{-7}\) Кл.

При включении однородного электрического поля на шарики начинает действовать дополнительная сила, которая постоянна и не

зависит от положения шариков, так же как и сила тяжести. В таком случае разумно «объединить» эту силу с силой тяжести и ввести, так называемое, «эффективное» ускорение свободного падения \(\vec{g}^*\), модуль которого

\[g^* = g\sqrt{1 + \left(\frac{qE}{mg}\right)^2}.\tag{4}\]

Тогда угол отклонения \(\theta_1\) каждой нити от направления вектора \(\vec{g}^*\) можно найти как решение уравнения (3), в котором необходимо заменить \(g\) на \(g^*\)

\[\frac{\sin^3\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg^*}.\tag{5}\]

К сожалению, это уравнение элементарными методами не разрешимо. Поэтому еще раз воспользуемся предоставленным графиком, для чего перепишем (5) в виде

\[\frac{\sin^{3} \theta_{l}}{\cos \theta_{l}} = \frac{q^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} l^{2} m g *} = \frac{\left(\sqrt{\frac{g}{g *}} q\right)^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} l^{2} m g}\tag{6}\]

Как видно, это уравнений полностью совпадает с уравнением (3), если в качестве параметра \(q\) использовать величину

\[q^{*} = \sqrt{\frac{g}{g *}} q = \frac{q}{\sqrt[4]{1 + \left(\frac{q E}{m g}\right)^2}} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-7} \, \text{Кл}.\]

По графику находим \(\theta_{l} \approx 27^{\circ}\), следовательно, искомый угол между нитями равен \(2 \theta_{l} \approx 54^{\circ}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.