Два холодильника в комнате

Тепло из комнаты уходит на улицу и в морозилку пропорционально разностям температур; идеальный холодильник откачивает из морозилки теплоту, связанную с работой циклом Карно. Составьте баланс потоков в обоих случаях.

\(T_1^*\approx275{,}4\text{ К}\).

10-3. Для решения задачи сделаем следующие предположения:

поток теплоты из комнаты на улицу:

\[\frac { Q _ { 1 } } { t } = q _ { 1 } = k _ { 1 } \big ( T _ { 1 } - T _ { 0 } \big ) \qquad \qquad \qquad\tag{1}\]

из комнаты в морозилку:

\[\frac { Q _ { 2 } } { t } = q _ { 2 } = k _ { 2 } \big ( T _ { 1 } - T _ { 2 } \big ) \qquad \qquad \qquad\tag{2}\]

пропорциональны соответствующим разностям температур.

При установлении теплового равновесия поток теплоты \(q_2\) должен «отсасываться» из морозилки.

С учетом связей между \(Q_2\) и \(Q_3\) для идеальной тепловой машины, имеем (она работает по обратному циклу)

\[\begin{cases} Q_3 = Q_2 + A \\ \frac{Q_3 - Q_2}{Q_3} = \frac{T_1 - T_2}{T_2} \Rightarrow Q_3 = Q_2 \frac{T_1}{T_2} \Rightarrow q_3 = q_2 \frac{T_1}{T_2}. \end{cases}\tag{3}\]

В установившемся режиме:

\[q_3 = q_1 + q_2.\tag{4}\]

Из (1) – (4) имеем:

\[k_2 (T_1 - T_2)^2 = k_1 T_2 (T_1 - T_0).\tag{5}\]

В случае работы двух холодильников:

\[2 k_2 (T_1^* - T_2)^2 = k_1 T_2 (T_1^* - T_0).\tag{6}\]

Решая систему (5) – (6) получаем квадратное уравнение для искомой температуры

\[(T_1^*)^2 - 618 T_1^* + 94354 = 0\]

\[T_1^* = 342{,}5\,\text{К} \text{ или } T_1^* = 275{,}4\,\text{К}.\]

Первый корень отбросим как не соответствующий здравому смыслу. Итак, в случае работы двух холодильников:

\[T_1^* = 275{,}4\,\text{К}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.