Ускоренный стержень

Для малого участка стержня разность натяжений на концах сообщает ему ускорение. Поэтому наклон графика \(\sigma(x)\) в каждом сечении равен \(\rho a\), а ускорение у всех участков одинаково.

\(\rho_2\approx5{,}9\text{ г/см}^3\).

10-1. Пусть зависимость силы натяжения в стержне от расстояния \(T(x)\). Тогда \(T(x) = \sigma(x) \cdot S\), где \(S\) – площадь поперечного сечения стержня. Рассмотрим движение малого участка стержня длиной \(\Delta x_i\); согласно основному закону динамики имеем:

\[\rho_i S \Delta x_i a = T(x + \Delta x) - T(x) = \Delta T(x) = \Delta \sigma(x) \cdot S\]

Отсюда:

\[a = const = \frac{\Delta \sigma(x)}{\Delta x_i} \frac{1}{\rho_i} = \frac{\operatorname{tg} \alpha_i}{\rho_i},\]

где \(\operatorname{tg} \alpha_i\) – тангенс угла наклона касательной к графику в соответствующей точке. Тогда:

\[\frac{\operatorname{tg} \alpha_1}{\rho_1} = \frac{\operatorname{tg} \alpha_2}{\rho_2} \Rightarrow \rho_2 = \rho_1 \frac{\operatorname{tg} \alpha_2}{\operatorname{tg} \alpha_1} = 3{,}0 \frac{\operatorname{tg} 56^\circ}{\operatorname{tg} 37^\circ} = 5{,}9 \, \text{г/см}^3.\]

\(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) – углы наклона касательных к графику в сечениях 1 и 2.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.