Разрыв диэлектрика в конденсаторе

На поверхностях диэлектрика возникают связанные заряды, и поле тянет пластину за обе поверхности. Найдите силу на единицу площади через плотность заряда на обкладках, приравняйте её пределу прочности и найдите напряжение.

\(U=\bigl(D\varepsilon-(\varepsilon-1)d\bigr)\sqrt{\dfrac{2\sigma_0}{\varepsilon_0(\varepsilon^2-1)}}\).

10-4. Пусть поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна \(\sigma\). Тогда на поверхности диэлектрика:

\[\sigma' = - \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} \sigma.\tag{1}\]

Эту формулу легко получить, если учесть, что суммарное электрическое поле, создаваемое зарядами на обкладках и поляризационными зарядами, в \(\varepsilon\) раз меньше поля, создаваемого только свободными зарядами на обкладках, иными словами \((\sigma + \sigma') = \sigma / \varepsilon\). Тогда сила, действующая на единицу площади диэлектрика:

\[P = \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma'}{2 \varepsilon_0} \right) \sigma' = \frac{\varepsilon^2 - 1}{2 \varepsilon^2 \varepsilon_0} \sigma^2.\tag{2}\]

Если предел прочности материала диэлектрика \(\sigma_0\), то он будет разорван кулоновскими силами при поверхностной плотности:

\[\sigma = \sqrt{\frac{2\varepsilon^2\varepsilon_0}{\varepsilon^2 - 1} \sigma_0}.\tag{3}\]

Тогда искомое напряжение:

\[U = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\left(D - d + \frac{d}{\varepsilon}\right) = \frac{D - \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}d}{\varepsilon_0} \sqrt{\frac{2\varepsilon^2\varepsilon_0}{\varepsilon^2 - 1} \sigma_0} = \left(D\varepsilon - (\varepsilon - 1)d\right) \sqrt{\frac{2\sigma_0}{\varepsilon_0(\varepsilon^2 - 1)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.