Взрыв внутри бочки

Бочка получает импульс, равный импульсу осколков, ушедших в землю. Сумма проекций импульсов осколков на ось равна числу осколков на единицу площади сферы, умноженному на площадь проекции основания бочки.

\(H=\dfrac{Em}{16M^2g\left(1+h^2/R^2\right)^2}\).

10-2. Подсчитаем импульс осколков, ушедших в землю – такой же по величине и противоположный по направлению импульс получит и бочка.

Проведем сферу \(\Omega\) с центром в точке взрыва \(C\), опирающуюся на основание цилиндра. Пусть число осколков на единицу площади сферы \(n\). Тогда:

\[p = \sum _ { i } n \Delta S _ { i } m _ { 0 } v \cos \theta _ { i } , \qquad \qquad\tag{1}\]

где \(m _ { 0 }\) – масса одного осколка, \(v\) – его скорость, \(\Delta S _ { i }\) – площадь небольшого участка сферы, \(\theta _ { i }\) – соответствующий угол между осью бочки и \(\vec { p } _ { i }\). Но \(\Delta S _ { i } \cos \theta _ { i }\) – величина проекции площади сегмента сферы на основание бочки, тогда сумму (1) легко вычислить:

\[p = n m _ { 0 } v \sum _ { i } \Delta S _ { i } \cos \theta _ { i } = n m _ { 0 } v \pi R ^ { 2 } . \qquad \qquad\tag{2}\]

Далее: \(n = \frac { N } { 4 \pi \left( R ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) }\),

\[N m _ { 0 } = m \Rightarrow \frac { N m _ { 0 } v ^ { 2 } } { 2 } = E , \; v = \sqrt { \frac { 2 E } { m } } \, ,\]

и (2) принимает вид:

\[p = \frac { N } { 4 \pi \left( R ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) } m _ { 0 } \sqrt { \frac { 2 E } { m } } \pi R ^ { 2 } = M V ,\]

где \(V\) – скорость бочки после взрыва. Зная начальную скорость бочки, легко найти высоту ее подъема:

\[H = \frac { V ^ { 2 } } { 2 g } = \frac { p ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } g } = \frac { E m } { 1 6 \, M ^ { 2 } \left( 1 + \displaystyle \frac { h ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } g } .\]

Заметим, что при решении мы не учитывали изменения импульсов осколков за время полета в поле силы тяжести \(( m g \tau \ll m v )\) и приняли, что все осколки достигают поверхности бочки одновременно. Кроме того, неявно предполагается, что \(m \ll M\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.