Кубик отскакивает от шероховатой стены

Удар делится на две части: нормальная компонента импульса меняется на \(2p_\perp\), а тангенциальная — за счёт силы трения, пропорциональной силе реакции. Рассмотрите два случая: трение не успевает погасить тангенциальную компоненту или успевает.

При упругом соударении кубика со стенкой составляющая импульса кубика, нормальная к стенке, изменится на величину \[\Delta p_\perp = 2p_\perp.\] Составляющая импульса, параллельная плоскости стенки, изменится из-за силы трения: \[\Delta p_\parallel = F_{\text{тр}}\,\Delta t.\] С другой стороны, сила трения пропорциональна по модулю силе реакции стенки: \(F_{\text{тр}} = \mu N\), где \(N\) — сила реакции стены. За время соударения \(\Delta t\) сила реакции меняет нормальную компоненту импульса кубика на \(\Delta p_\perp\), следовательно, сила трения, пропорциональная по модулю силе реакции в каждый момент времени, изменит другую компоненту импульса на \(\mu\,\Delta p_\perp\) (по модулю). Однако сила трения действует на кубик только до тех пор, пока у него есть ненулевая компонента скорости вдоль поверхности кубика. Поэтому возникает два значимых случая:

1) \(\mu\,\Delta p_\perp < p_\parallel\). В этом случае после соударения новые компоненты импульса будут \(p'_\perp = -p_\perp\), \(p'_\parallel = p_\parallel - 2\mu p_\perp\).

2) \(\mu\,\Delta p_\perp > p_\parallel\). Очевидно, что сила трения не может разгонять кубик в обратную сторону, следовательно, во время соударения компонента \(p_\parallel\) зануляется, и новые компоненты импульса будут: \(p'_\perp = -p_\perp\), \(p'_\parallel = 0\).

Теперь можно вычислить углы отражения для каждого из случаев: \[\operatorname{tg}\beta = \frac{|p'_\parallel|}{|p'_\perp|}.\] В случае 1 имеем: \[\operatorname{tg}\beta = \frac{p_\parallel - 2\mu p_\perp}{p_\perp} = \operatorname{tg}\alpha - 2\mu.\] Подставляя значение \(\mu\), получаем \[\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}30^\circ.\] Случай 2 отвечает \(\operatorname{tg}\beta = 0\), при этом в случае, когда \(\mu\,\Delta p_\perp = p_\parallel\), оказывается, что \(\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}30^\circ\), так что зависимость угла отражения от угла падения непрерывна.