Мембрана нейрона как пружинный конденсатор

Найдите напряжённость поля одного заряженного слоя по теореме Гаусса и силу притяжения слоёв. Затем выразите напряжение как функцию заряда \(Q\) и найдите его максимум.

В первую очередь определим напряжение между двумя слоями мембраны нейрона \(V = Ed\). Для этого потребуется определить напряжённость электрического поля внутри мембраны и изменённое после наведения заряда расстояние между её слоями. Одна пластина площадью \(S\) с распределённым на ней зарядом, модуль которого обозначим за \(Q\), согласно теореме Гаусса создаёт электрическое поле напряжённостью \[E_1 = \frac{Q}{2\varepsilon\varepsilon_0 S}.\] Значит, сила, возникающая между двумя такими слоями, будет равна \[F_E = Q E_1 = \frac{Q^2}{2\varepsilon\varepsilon_0 S}.\] Данная сила уравновешивается силой, возникающей при сжатии мембраны: \(F_k = kx\), где \(x = d_0 - d\). Приравнивая выражения, получим новое расстояние между слоями: \[d = d_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon\varepsilon_0 S k}.\] В свою очередь поле внутри мембраны между слоями характеризуется напряжённостью \[E = \frac{Q}{2\varepsilon\varepsilon_0 S} - \frac{-Q}{2\varepsilon\varepsilon_0 S} = \frac{Q}{\varepsilon\varepsilon_0 S}.\] Значит, напряжение в области между слоями мембраны равно: \[V = Ed = \frac{Q}{\varepsilon\varepsilon_0 S}\left(d_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon\varepsilon_0 S k}\right).\] Как мы видим, данное выражение зависит от модуля заряда \(Q\) кубически. С ростом заряда на поверхности мембраны, связанным с работой ионной помпы, напряжение будет расти и достигнет определённого максимума \(V_{\max}\), после чего будет уменьшаться. Ионная помпа прекратит работу, если \(V_{\max} > V_n\); в противном случае помпы продолжат перегонять ионы до тех пор, пока увеличившийся заряд не разрушит клеточную мембрану (в таком случае \(d\) станет равно \(0\)). Найдём \(V_{\max}\), продифференцировав функцию напряжения по заряду: \[\frac{dV}{dQ} = \frac{d_0}{\varepsilon\varepsilon_0 S} - \frac{3Q^2}{2\varepsilon^2\varepsilon_0^2 S^2 k} = 0 \quad\Rightarrow\quad Q_{\max} = \sqrt{\frac{2 d_0 \varepsilon\varepsilon_0 S k}{3}},\] \[V_{\max} = \frac{2d_0}{3}\sqrt{\frac{2kd_0}{3\varepsilon\varepsilon_0 S}} = \left(\frac{2d_0}{3}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{k}{\varepsilon\varepsilon_0 S}}.\] Ограничивая полученное выражение значением \(V_n\) и возводя выражение в квадрат, получим граничное выражение для жёсткости \(k\): \[k > \left(\frac{3}{2}\right)^3 \frac{V_n^2\,\varepsilon\varepsilon_0 S}{d_0^3}.\]