Конденсатор на пружине

После зарядки на верхнюю пластину действует постоянная сила притяжения, не зависящая от расстояния. Постоянная сила плюс пружина — это гармонические колебания около нового положения равновесия. Пластина начинает движение из покоя.

\(k>\dfrac{\varepsilon_0SU^2}{l_0^3}\).

Что происходит. До зарядки пластина висит в равновесии: вес уравновешен пружиной. Конденсатор зарядили и отключили, и теперь между пластинами действует сила притяжения \(F\). Эта сила постоянна, потому что поле плоскости не зависит от расстояния до неё, а заряд не меняется. Постоянная добавка к силе только сдвигает положение равновесия пластины на \(h=F/k\) вниз, а пластина стартует из покоя в старой точке, поэтому колеблется с амплитудой \(h\) и в нижней точке смещена на \(2h\). Касания нет, если \(2h<l_0\).

Обозначения. Ось \(x\) направим вниз, начало — начальное положение верхней пластины. \(m\) — масса пластины, \(\Delta x_0\) — начальная деформация пружины.

1. Заряд. Конденсатор заряжен до напряжения \(U\) при расстоянии \(l_0\) (смещением за время зарядки пренебрегаем): \[q=CU=\frac{\varepsilon_0SU}{l_0}.\]

2. Сила притяжения. Верхняя пластина находится в поле нижней. Нижняя пластина — заряженная плоскость, её поле равно \(E=\dfrac{q}{2\varepsilon_0S}=\dfrac{U}{2l_0}\) и не зависит от расстояния (размеры пластин много больше зазора). Тогда \[F=qE=\frac{\varepsilon_0SU^2}{2l_0^2}.\] Обратите внимание: поле одной пластины вдвое меньше поля \(U/l_0\) внутри конденсатора, поэтому в силе стоит множитель \(1/2\). Сила \(F\) остаётся постоянной, пока заряд \(q\) не меняется.

3. Движение пластины. В начальный момент пластина в равновесии: \(mg=k\,\Delta x_0\). Второй закон Ньютона для пластины в проекции на ось \(x\) (вниз), когда её смещение равно \(x\): \[m\ddot x=mg+F-k(\Delta x_0+x)=F-kx .\] Это уравнение гармонических колебаний около положения \(x=h=F/k\) с частотой \(\omega=\sqrt{k/m}\). Пластина стартует из покоя при \(x=0\), поэтому \[x(t)=h\,(1-\cos\omega t),\qquad x_{\max}=2h=\frac{2F}{k}.\]

4. Условие, что пластины не касаются. Расстояние между пластинами в нижней точке \(l_0-2h\) должно быть положительным: \[\frac{2F}{k}<l_0\quad\Rightarrow\quad k>\frac{2F}{l_0}=\frac{\varepsilon_0SU^2}{l_0^3}.\]

Проверка. Второй способ — энергия. В нижней точке скорость пластины равна нулю, а сила тяжести и начальная деформация пружины в разности сил сокращаются: работа \(F\) на пути \(x_{\max}\) равна приращению энергии пружины, \(Fx_{\max}=kx_{\max}^2/2\), откуда \(x_{\max}=2F/k\) — то же самое. Размерность: \(\varepsilon_0SU^2/l_0^3\) — это Н/м. Пределы: при \(U\to0\) сила исчезает и подойдёт любая пружина; чем больше \(S\) и \(U\) или меньше \(l_0\), тем жёстче пружина нужна.

Ответ: \(k>\dfrac{\varepsilon_0SU^2}{l_0^3}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.