Два пути газа

Начальное и конечное состояния у двух процессов одни и те же. Какая величина от пути не зависит, а какая зависит и чему равна на графике?

\(\dfrac{Q_{\mathrm I}}{Q_{\mathrm{II}}}=\dfrac{13}{11}\approx1{,}18\) (\(Q_{\mathrm I}=\tfrac{13}{2}p_0V_0\approx1{,}5\cdot10^{7}\text{ Дж}\), \(Q_{\mathrm{II}}=\tfrac{11}{2}p_0V_0\approx1{,}2\cdot10^{7}\text{ Дж}\)).

Что происходит. Внутренняя энергия газа — функция состояния, поэтому при переходе \(1\to2\) её изменение \(\Delta U\) одно и то же по любому пути. Теплоты же различаются работой: по первому закону термодинамики \(Q=\Delta U+A\), а работа газа равна площади под графиком процесса в осях \(p\)–\(V\).

Обозначения. \(p_0\), \(V_0\) — давление и объём в состоянии 1 (нормальные условия, \(V_0=22{,}4\text{ м}^3\) для одного киломоля). Индекс I — путь \(1\to3\to2\), II — путь \(1\to4\to2\). Для газа в состоянии \(1\): \(p_0V_0=\nu RT_1\).

1. Изменение внутренней энергии. У одноатомного газа \(U=\tfrac32\nu RT\). Уравнение состояния для состояний 1 и 2: \[p_0V_0=\nu RT_1,\qquad 2p_0\cdot2V_0=\nu RT_2\;\Rightarrow\;T_2=4T_1 .\] Значит, \[\Delta U=\tfrac32\nu R(T_2-T_1)=\tfrac32\cdot3\,\nu RT_1=\tfrac92\,p_0V_0 .\]

2. Работа на путях. Газ работает только там, где меняется объём. Путь I: на \(1\to3\) изохора, \(A=0\); на \(3\to2\) изобара при давлении \(2p_0\), \(A_{\mathrm I}=2p_0(2V_0-V_0)=2p_0V_0\). Путь II: на \(1\to4\) изобара при давлении \(p_0\), \(A_{\mathrm{II}}=p_0(2V_0-V_0)=p_0V_0\); на \(4\to2\) изохора, \(A=0\).

3. Теплоты. Первый закон термодинамики для газа на всём пути от состояния 1 до состояния 2: \[Q_{\mathrm I}=\Delta U+A_{\mathrm I}=\tfrac92p_0V_0+2p_0V_0=\tfrac{13}{2}\,p_0V_0,\qquad Q_{\mathrm{II}}=\tfrac92p_0V_0+p_0V_0=\tfrac{11}{2}\,p_0V_0 .\] Обратите внимание: теплота не функция состояния — хотя начало и конец одни, \(Q_{\mathrm I}\ne Q_{\mathrm{II}}\); различие равно разности работ \(A_{\mathrm I}-A_{\mathrm{II}}=p_0V_0\).

Ответ: \(\dfrac{Q_{\mathrm I}}{Q_{\mathrm{II}}}=\dfrac{13}{11}\approx1{,}18\). Для одного киломоля при \(p_0=1{,}01\cdot10^{5}\text{ Па}\), \(V_0=22{,}4\text{ м}^3\) получаем \(p_0V_0\approx2{,}27\cdot10^{6}\text{ Дж}\), \(Q_{\mathrm I}\approx1{,}5\cdot10^{7}\text{ Дж}\), \(Q_{\mathrm{II}}\approx1{,}2\cdot10^{7}\text{ Дж}\).

Проверка. Второй способ — по участкам через теплоёмкости (\(\nu RT_1=p_0V_0\)). Путь I: \(T_3=2T_1\), на изохоре \(Q_{13}=\tfrac32\nu R\,T_1=\tfrac32p_0V_0\); на изобаре \(T_2-T_3=2T_1\), \(Q_{32}=\tfrac52\nu R\cdot2T_1=5p_0V_0\); всего \(\tfrac{13}{2}p_0V_0\). Путь II: \(T_4=2T_1\), на изобаре \(Q_{14}=\tfrac52\nu RT_1=\tfrac52p_0V_0\); на изохоре \(Q_{42}=\tfrac32\nu R\cdot2T_1=3p_0V_0\); всего \(\tfrac{11}{2}p_0V_0\). Результаты совпали.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.