Висящий вертолёт

Чтобы вертолёт висел, винт должен каждую секунду отбрасывать вниз столько воздуха, чтобы получаемый им импульс уравновешивал вес. Мощность — это кинетическая энергия, которую воздух получает за секунду.

\(N=\dfrac{Mg}{2l}\sqrt{\dfrac{Mg}{\pi\rho}}\approx3\cdot10^{4}\text{ Вт}=30\text{ кВт}\), скорость потока \(v\approx12\text{ м/с}\).

Что происходит. Винт отбрасывает вниз воздух, по третьему закону Ньютона воздух толкает вертолёт вверх. Вертолёт висит, когда эта сила равна весу. Двигатель в это время ничего не поднимает: вся его работа идёт на то, чтобы сообщать воздуху кинетическую энергию. Это нижняя оценка: потери в винте и вихри мы не учитываем.

Обозначения. \(\rho\) — плотность воздуха, \(v\) — скорость потока вниз (по условию одна и та же во всём потоке под винтом), \(S=\pi l^2\) — площадь, которую заметают лопасти, \(\Delta m\) — масса воздуха, которую винт отбрасывает за время \(\tau=1\) с.

1. Сколько воздуха отбрасывается. За время \(\tau\) через площадь \(S\) проходит цилиндр воздуха высотой \(v\tau\): \[\Delta m=\rho S v\tau=\rho\pi l^2 v\quad\text{(кг за 1 с)}.\]

2. Скорость потока. Второй закон Ньютона для воздуха, который отбрасывается за 1 с: он приобретает импульс \(\Delta m\,v\), значит, на него со стороны лопастей действует сила \(F_1=\Delta m\,v\). По третьему закону Ньютона воздух действует на вертолёт с силой \(F=F_1\). Вертолёт неподвижен, поэтому \(F=Mg\): \[\rho\pi l^2 v^2=Mg,\qquad v=\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho l^2}} .\]

3. Мощность. Воздух вначале покоился. По теореме об изменении кинетической энергии работа двигателя за 1 с равна кинетической энергии, приобретённой воздухом: \[N=\frac{\Delta m\,v^2}{2}=\frac{Mg\,v}{2}=\frac{Mg}{2l}\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho}} .\] Обратите внимание: мощность равна не \(Mgv\) (вертолёт не движется, работы силы тяжести нет), а \(\Delta m\,v^2/2\); множитель \(1/2\) возникает потому, что воздух разгоняется от нуля до \(v\).

4. Плотность воздуха. Из уравнения состояния идеального газа \(pV=\dfrac m\mu RT\) получаем \(\rho=\dfrac{p\mu}{RT}\). Для оценки возьмём \(p=10^{5}\text{ Па}\), \(T=300\text{ К}\), \(\mu=29\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}\): \[\rho=\frac{10^{5}\cdot29\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot300}\approx1{,}16\text{ кг/м}^3 .\] Подставим \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\): \[v=\sqrt{\frac{500\cdot9{,}8}{3{,}14\cdot1{,}16\cdot3^2}}\approx12\text{ м/с},\qquad N=\frac{500\cdot9{,}8\cdot12}{2}\approx3\cdot10^{4}\text{ Вт}.\]

Проверка. Размерность: \(\sqrt{Mg/(\pi\rho)}\) — это \(\sqrt{\text{Н}\cdot\text{м}^3/\text{кг}}=\text{м}^2/\text{с}\), а \(Mg/l\) — Н/м, вместе Н\(\cdot\)м/с \(=\) Вт. Зависимость: \(N\propto M^{3/2}/l\); чем длиннее лопасти, тем больше воздуха захватывает винт, тем меньше нужна скорость потока и тем меньше мощность — так и должно быть. Тот же порядок получается из \(N=\rho\pi l^2v^3/2\) при \(v=12\text{ м/с}\).

Ответ: \(N=\dfrac{Mg}{2l}\sqrt{\dfrac{Mg}{\pi\rho}}\approx3\cdot10^{4}\text{ Вт}=30\text{ кВт}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.