Кольцо в растущем поле

Меняющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Оно действует на заряд каждого малого участка кольца вдоль касательной. Сравните ускорения разных участков.

\(\omega=\dfrac{QB_0}{2m}\). Для \(Q>0\) вектор \(\vec\omega\) направлен против \(\vec B\).

Что происходит. Пока индукция \(B\) растёт, в пространстве возникает вихревое электрическое поле: его силовые линии — окружности вокруг оси кольца. Оно действует на заряженные участки кольца касательной силой и раскручивает кольцо. Главная идея — найти ускорение малого участка, показать, что оно одинаково у всех участков, и сложить приращения скорости за всё время нарастания поля.

Обозначения. \(R\) — радиус кольца, \(S=\pi R^2\) — площадь, которую оно охватывает, \(B(t)\) — индукция, растущая от 0 до \(B_0\), \(E\) — напряжённость вихревого поля на кольце. Ось \(z\) направим вдоль \(\vec B\).

1. Напряжённость вихревого поля. Запишем закон электромагнитной индукции для неподвижного контура, который совпадает с кольцом: циркуляция \(\vec E\) по контуру равна \(|\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t|\). По симметрии вихревое поле направлено по касательной и одинаково по модулю во всех точках окружности, поэтому циркуляция равна \(E\cdot2\pi R\). Поток \(\Phi=BS\), значит \[E\cdot2\pi R=\pi R^2\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|,\qquad E=\frac R2\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|.\] Обратите внимание: \(E\) на кольце определяется потоком через всю площадь внутри кольца, а не полем \(B\) на самом кольце.

2. Ускорение малого участка. Выделим участок длиной \(\Delta l\). Его заряд и масса равны \[\Delta Q=\frac{Q}{2\pi R}\,\Delta l,\qquad \Delta m=\frac{m}{2\pi R}\,\Delta l.\] Второй закон Ньютона для участка в проекции на касательную (плоскость гладкая, трения нет): \(\Delta m\,a=\Delta Q\,E\). Отсюда \[a=\frac{\Delta Q}{\Delta m}\,E=\frac{Q}{m}\,E .\] Ускорение не зависит от выбранного участка, поэтому кольцо раскручивается как целое.

3. Скорость за всё время нарастания. За малое время \(\Delta t\) скорость точек кольца растёт на \[\Delta v=a\,\Delta t=\frac{Q}{m}\cdot\frac R2\,|\Delta B| .\] Сложим эти приращения от начала нарастания поля до момента, когда индукция достигла \(B_0\): \(\sum|\Delta B|=B_0\). Тогда \[v=\frac{QR}{2m}\,B_0,\qquad \omega=\frac vR=\frac{QB_0}{2m}.\]

Направление вращения. По правилу Ленца вихревое поле раскручивает положительные заряды так, чтобы их «ток» создавал поле, направленное против растущего \(\vec B\). Поэтому для \(Q>0\) вектор \(\vec\omega\) направлен против \(\vec B\): если смотреть с той стороны, куда направлено \(\vec B\), кольцо вращается по часовой стрелке.

Проверка. Второй способ — через момент импульса. Момент силы вихревого поля на заряд \(Q\) равен \(M=QER=\dfrac{QR^2}{2}\dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\), момент импульса кольца \(L=mR^2\omega\). Из \(\mathrm{d}L=M\,\mathrm{d}t\) получаем \(mR^2\omega=\dfrac{QR^2}{2}B_0\), то есть тот же ответ. Размерность: тесла равен кг/(Кл\(\cdot\)с), поэтому \(QB_0/m\) имеет размерность 1/с. Смысл: ответ не зависит ни от радиуса, ни от скорости нарастания поля — важна только конечная индукция.

Ответ: \(\omega=\dfrac{QB_0}{2m}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.