Вымпел падает на Луну

Вымпел, выброшенный назад, переходит на эллиптическую орбиту, которая касается поверхности Луны на противоположной стороне. Для скорости в дальней точке используйте сохранение энергии и момента импульса, для времени — третий закон Кеплера.

Скорость вымпела относительно корабля (назад) \(u=\sqrt{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}\left(\dfrac1{\sqrt2}-\dfrac1{\sqrt3}\right)\approx2\cdot10^{2}\text{ м/с}\); время падения \(t=\dfrac{3\pi}{4}\sqrt{\dfrac{6R_{\text{Л}}}{g_{\text{Л}}}}\approx5{,}9\cdot10^{3}\text{ с}\approx98\text{ мин}\).

Что происходит. Корабль идёт по окружности радиуса \(R=2R_{\text{Л}}\). Вымпел, выброшенный назад по касательной, получает скорость меньше круговой и уходит с окружности на эллипс: дальняя точка \(A\) — место выброса, ближняя точка \(B\) — точка на противоположной стороне Луны, где траектория касается поверхности. Главная идея — найти скорость вымпела в \(A\) из сохранения энергии и момента импульса, затем разность с круговой скоростью корабля, а время получить из третьего закона Кеплера.

Обозначения. \(R_{\text{Л}}=1{,}7\cdot10^{6}\text{ м}\), \(g_{\text{Л}}=g/6\), так что \(GM_{\text{Л}}=g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2\). \(v_0\) — скорость корабля на круговой орбите, \(v_1\) и \(v_2\) — скорости вымпела в точках \(A\) и \(B\) относительно Луны, \(u\) — скорость выброса относительно корабля.

1. Корабль на круговой орбите. Второй закон Ньютона для корабля: \(\dfrac{mv_0^2}{R}=\dfrac{GM_{\text{Л}}m}{R^2}\), откуда \[v_0=\sqrt{\frac{GM_{\text{Л}}}{R}}=\sqrt{\frac{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2}{2R_{\text{Л}}}}=\sqrt{\frac{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}{2}} .\]

2. Скорость вымпела в точке \(A\). В \(A\) и \(B\) скорость вымпела перпендикулярна радиусу (это вершины эллипса). Сила тяготения направлена к центру Луны, её момент относительно центра равен нулю, поэтому сохраняется момент импульса вымпела: \[mv_1R=mv_2R_{\text{Л}}\quad\Rightarrow\quad v_2=2v_1 .\] Вымпел движется только под действием тяготения, поэтому сохраняется и его механическая энергия между \(A\) и \(B\): \[\frac{v_1^2}{2}-\frac{GM_{\text{Л}}}{R}=\frac{v_2^2}{2}-\frac{GM_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}} \;\Rightarrow\; \frac{v_1^2}{2}-\frac{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}{2}=2v_1^2-g_{\text{Л}}R_{\text{Л}} .\] Отсюда \(\dfrac32v_1^2=\dfrac{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}{2}\), то есть \(v_1=\sqrt{\dfrac{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}{3}}\).

3. Скорость выброса. Вымпел выбрасывается назад по касательной, поэтому скорости вычитаются: \(v_1=v_0-u\). Обратите внимание: \(u\) — скорость относительно корабля, а \(v_1\) — относительно Луны. Получаем \[u=v_0-v_1=\sqrt{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}\left(\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt3}\right).\] При \(g_{\text{Л}}=9{,}8/6=1{,}63\text{ м/с}^2\): \(\sqrt{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}=1{,}67\cdot10^{3}\text{ м/с}\), \(v_0\approx1{,}18\cdot10^{3}\text{ м/с}\), \(v_1\approx0{,}96\cdot10^{3}\text{ м/с}\), \(u\approx0{,}22\cdot10^{3}\text{ м/с}\approx2\cdot10^{2}\text{ м/с}\).

4. Время падения. Большая полуось эллипса равна половине расстояния \(AB\): \(a=\dfrac{R+R_{\text{Л}}}{2}=\dfrac{3R_{\text{Л}}}{2}\). Третий закон Кеплера (для движения в поле одного центра \(T=2\pi\sqrt{a^3/GM_{\text{Л}}}\)) даёт период обращения по этому эллипсу: \[T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}^2}}=2\pi\sqrt{\frac{27R_{\text{Л}}}{8g_{\text{Л}}}} .\] Вымпел падает на Луну, пройдя от \(A\) до \(B\) — половину эллипса: \[t=\frac T2=\pi\sqrt{\frac{27R_{\text{Л}}}{8g_{\text{Л}}}}=\frac{3\pi}{4}\sqrt{\frac{6R_{\text{Л}}}{g_{\text{Л}}}}\approx5{,}9\cdot10^{3}\text{ с}\approx98\text{ мин}.\] В журнале для этого времени указано \(\approx200\) мин: это полный период эллипса \(T\), а вымпел до касания проходит только половину пути.

Проверка. Орбита вымпела замкнута: в точке \(B\) энергия \(\dfrac{v_2^2}{2}-g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}\approx\dfrac{(1{,}92\cdot10^3)^2}{2}-2{,}8\cdot10^{6}<0\). Предельный случай: вымпел, у которого скорость в \(A\) стала бы равна нулю, падал бы по прямой, то есть по «вырожденному» эллипсу с \(a=R/2\), за \(t=\pi\sqrt{R_{\text{Л}}/g_{\text{Л}}}\approx3{,}2\cdot10^{3}\text{ с}\) — меньше, чем \(5{,}9\cdot10^{3}\text{ с}\), как и должно быть: с боковой скоростью путь длиннее. Размерность: \(\sqrt{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}\) — м/с, \(\sqrt{R_{\text{Л}}/g_{\text{Л}}}\) — секунды.

Ответ: вымпел нужно выбросить назад по касательной со скоростью \(u\approx2\cdot10^{2}\text{ м/с}\) относительно корабля; он упадёт на Луну через \(t\approx98\) мин.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.