Пластина на пружине

Чем различаются два случая: что остаётся постоянным — напряжение или заряд? Как сила притяжения пластин зависит от расстояния при постоянном заряде?

Расстояние уменьшилось бы на \(\alpha_2=\alpha_1(1-\alpha_1)^2=8{,}1\%\).

Что происходит. Если ключ замкнут долго, батарея держит на конденсаторе постоянное напряжение \(U\): при сближении ёмкость растёт, на пластины приходит заряд, и сила притяжения растёт, как \(1/d^2\). Если ключ замкнули на короткое время, конденсатор успел зарядиться при прежнем расстоянии \(d_0\) (пластина не сдвинулась), после размыкания заряд \(q_0\) остаётся постоянным. Сила притяжения пластины \(\text{Б}\) полем пластины \(A\) равна \(q^2/(2\varepsilon_0S)\) и при постоянном заряде от расстояния не зависит. Главная идея — через первый опыт найти \(\varepsilon_0SU^2\) в единицах жёсткости пружины и подставить во второй.

Обозначения. \(d_0\) — расстояние до замыкания (пружина при этом не деформирована, пластина заряда не несла), \(S\) — площадь пластины, \(k\) — жёсткость пружины, \(d_1=(1-\alpha_1)d_0\) — равновесное расстояние при постоянном напряжении, \(x_1=\alpha_1d_0\) — растяжение пружины. Расстояние много меньше размера пластин, краевыми эффектами пренебрегаем.

1. Сила притяжения пластин. На пластину \(\text{Б}\) действует только поле пластины \(A\), равное \(E_A=\dfrac{q}{2\varepsilon_0S}\) (собственное поле пластины \(\text{Б}\) на неё саму не действует): \[F_{\text{э}}=qE_A=\frac{q^2}{2\varepsilon_0S}.\] Обратите внимание: писать \(F=qU/d\) нельзя, это вдвое больше. В \(U/d\) входит поле обеих пластин, а на пластину действует поле только соседней.

2. Равновесие при постоянном напряжении. Заряд на конденсаторе \(q=CU=\dfrac{\varepsilon_0SU}{d}\), поэтому \(F_{\text{э}}=\dfrac{\varepsilon_0SU^2}{2d^2}\). Запишем условие равновесия пластины \(\text{Б}\) (второй закон Ньютона при нулевом ускорении, проекция на ось вдоль пружины): сила пружины равна силе притяжения. При \(d_1=(1-\alpha_1)d_0\): \[k\alpha_1d_0=\frac{\varepsilon_0SU^2}{2(1-\alpha_1)^2d_0^2}\quad\Rightarrow\quad\varepsilon_0SU^2=2k\alpha_1(1-\alpha_1)^2d_0^3 .\]

3. Короткое замыкание. Пока пластина стоит на месте, конденсатор заряжается до напряжения \(U\) при расстоянии \(d_0\) и получает заряд \(q_0=\dfrac{\varepsilon_0SU}{d_0}\). Дальше цепь разомкнута, и заряд не меняется. Сила притяжения теперь \[F_q=\frac{q_0^2}{2\varepsilon_0S}=\frac{\varepsilon_0SU^2}{2d_0^2}=k\alpha_1(1-\alpha_1)^2d_0 ,\] и она не зависит от расстояния: при сближении поле пластины \(A\) у пластины \(\text{Б}\) не меняется.

4. Новое равновесие. Пружина растягивается на \(x_2\) до \(kx_2=F_q\): \[x_2=\alpha_1(1-\alpha_1)^2\,d_0=0{,}1\cdot0{,}81\,d_0=0{,}081\,d_0 .\] Расстояние между пластинами уменьшится на \(8{,}1\%\) — меньше, чем при длительном замыкании. Пластины ни при каком смещении не коснутся: при постоянном заряде сила не возрастает.

Проверка. На графике по \(d/d_0\) видно: сила пружины (прямая) и сила при \(U=\text{const}\) (кривая) пересекаются при \(d/d_0=0{,}9\), а при \(q=\text{const}\) сила постоянна и пересечение сдвигается к \(0{,}919\). Предел малого смещения \(\alpha_1\to0\): \(\alpha_2\to\alpha_1\), обе силы почти равны. Размерность: \(\varepsilon_0SU^2/d^2\) — сила, \(kd_0\) — тоже сила.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.