Лампочка и прерыватель

Нить не успевает заметно остыть за 12 мс: <<нормальный накал>> означает ту же среднюю температуру, то есть ту же среднюю мощность. За время замыкания нить получает больше, чем отдаёт.

1) \(U'=U\sqrt{\dfrac{\tau_1+\tau_2}{\tau_1}}\approx 316\) В;  2) температура колеблется пилообразно, размах \(\Delta T\approx17\) К.

Что происходит. За время порядка \(20\) мс нить из-за своей теплоёмкости почти не меняет температуру. Нормальный накал означает ту же среднюю температуру, что при постоянных \(200\) В, то есть ту же среднюю мощность тока: тепло нить отдаёт излучением, и отдача зависит лишь от температуры. Главная идея — средняя мощность за период равна номинальной, а в замкнутой части периода мощность больше номинальной, и избыток греет нить.

Обозначения. \(R\) — сопротивление нити (считаем постоянным: температура меняется на доли процента), \(U'\) — напряжение источника, \(P_1\) — мощность тока при замкнутой цепи, \(T_{\text{п}}=\tau_1+\tau_2=20\) мс — период.

Пункт 1. Номинальный режим: \(P=\dfrac{U^2}{R}\), отсюда \(R=\dfrac{U^2}{P}\approx667\) Ом. При включении через прерыватель мощность за время \(\tau_1\) равна \(\dfrac{U'^2}{R}\), а за \(\tau_2\) равна нулю. Средняя за период должна быть равна \(P\): \[\frac{U'^2}{R}\cdot\frac{\tau_1}{\tau_1+\tau_2}=\frac{U^2}{R}\quad\Rightarrow\quad U'=U\sqrt{\frac{\tau_1+\tau_2}{\tau_1}}=200\ \text{В}\cdot\sqrt{2{,}5}\approx316\text{ В}.\] Обратите внимание: нельзя приравнять среднее напряжение к \(200\) В — это дало бы \(500\) В. Нагрев определяет мощность, а она пропорциональна \(U^2\), а не \(U\).

Пункт 2. При замкнутой цепи нить получает мощность \[P_1=\frac{U'^2}{R}=P\,\frac{\tau_1+\tau_2}{\tau_1}=150\text{ Вт}.\] Отдача тепла излучением определяется температурой нити, которая меняется мало, поэтому считаем её постоянной и равной \(P=60\) Вт (в среднем отдача равна подводимой мощности, иначе температура уходила бы). Запишем уравнение теплового баланса нити за время \(\tau_1\) (нагрев без изменения агрегатного состояния): избыток энергии идёт на нагрев: \[mc\,\Delta T=(P_1-P)\,\tau_1\quad\Rightarrow\quad\Delta T=\frac{(150-60)\text{ Вт}\cdot8\cdot10^{-3}\text{ с}}{0{,}3\cdot10^{-3}\text{ кг}\cdot140\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}}=\frac{0{,}72}{0{,}042}\text{ К}\approx17\text{ К}.\] Во время \(\tau_2\) нить отдаёт \(P\tau_2=60\cdot12\cdot10^{-3}=0{,}72\) Дж — столько же, сколько получила избыточной энергии, и остывает на те же \(17\) К. Температура за период меняется пилообразно, размах \(\approx17\) К, то есть \(\pm8{,}6\) К около средней.

Проверка. Энергия за период: \(P_1\tau_1=150\cdot8\cdot10^{-3}=1{,}2\) Дж \(=P(\tau_1+\tau_2)=60\cdot20\cdot10^{-3}\) Дж — совпало. Допущение о постоянной отдаче тепла: температура нити порядка \(2500\) К, изменение \(17\) К — менее \(1\%\), излучаемая мощность \(\propto T^4\) меняется на \(3\%\) (около \(\pm1\) Вт из \(60\) Вт), и ответ при этом меняется лишь на несколько процентов. Смысл: нить нагревается и остывает за время, много меньшее глаза и самой нити, потому лампа светит ровно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.