Медный нагреватель

Мощность при подключении к паре граней \(P=U^2/R\), а \(R=\rho_{\text{эл.}}l/S\). Отношения мощностей дают отношения рёбер, а объём находится по массе и плотности.

\(c\approx4{,}5\) см, \(b\approx9{,}0\) см, \(a\approx12{,}6\) см.

9-4. Внешний вид нагревательного элемента приведен на рисунке. Мощность тепловыделения на резисторе

\[P = U^2 / R,\]

где его сопротивление

\[R = \rho_{\text{эл.}} \frac{l}{S}.\]

Здесь \(\rho_{\text{эл.}}\) – удельное сопротивление меди, \(l\) – длина проводника, \(S\) – площадь поперечного сечения. Имеем три различных варианта подключения. Пусть для определенности \(a > b > c\). Тогда

\[P _ { 1 } = P _ { a } = \frac { U ^ { 2 } } { \rho _ { \text{эл.}} a / b c } = \frac { U ^ { 2 } b c } { \rho _ { \text{эл.}} a } , \ P _ { 2 } = P _ { b } = \frac { U ^ { 2 } a c } { \rho _ { \text{эл.}} b } , \ P _ { 3 } = P _ { c } = \frac { U ^ { 2 } a b } { \rho _ { \text{эл.}} c } ,\]

причем

\[P _ { 1 } : P _ { 2 } = \frac { U ^ { 2 } b c } { \rho _ { \text{эл.}} a } : \frac { U ^ { 2 } a c } { \rho _ { \text{эл.}} b } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } , \ a = \sqrt { 2 } b ,\]

\[P _ { 2 } : P _ { 3 } = \frac { c ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } , \ b = 2 c .\]

С другой стороны, нам известен объем всего куска меди

\[V = a b c = \sqrt { 2 } 2 ^ { 2 } c ^ { 3 } = m / \rho .\]

Теперь несложно найти размеры всех сторон

\[c = \sqrt [ 3 ] { \frac { \sqrt { 2 } m } { 8 \rho } } = \sqrt [ 3 ] { \frac { \sqrt { 2 } \cdot 4{,}5 } { 8 \cdot 9 \cdot 1 0 ^ { 3 } } } \approx 4{,}5 \text{ см}, \ b = 2 c = 9{,}0 \text{ см}, \ a = \sqrt { 2 } b \approx 1 2{,}6 \text{ см} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.