Брусок с переменной теплоёмкостью

Теплота, нужная бруску, — это площадь под графиком зависимости \(c(t)\) от \(0\) до \(\theta\). Приравняйте её теплоте, отданной водой, и решите квадратное уравнение.

\(\theta\approx26\,^\circ\text{C}\).

9-5. Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Горячая вода отдает

\[Q _ { \text{отд.}} = m _ { 1 } c _ { 1 } ( t _ { 1 } - \theta )\tag{1}\]

теплоты, где \(\theta\) — окончательная температура в калориметре. Это количество теплоты передается бруску, специфическое свойство которого — зависимость теплоемкости от температуры \(C(t)\), усложняет процедуру расчета. Площадь под графиком зависимости \(C(t)\) равна

\[S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 0 } } = \sum _ { i } C ( t _ { i } ) \Delta t _ { i } ,\]

где \(i\) — определяет номер участка разбиения. С другой стороны, полученное количество теплоты

\[Q _ { \text{пол.}} = \sum _ { i } C ( t _ { i } ) \Delta t _ { i } m _ { 0 } = m _ { 0 } \sum _ { i } C ( t _ { i } ) \Delta t _ { i } .\]

Таким образом,

\[Q _ { \text{пол.}} = m _ { 0 } S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 0 } } .\]

Площадь \(S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 2 } }\) найдем как площадь трапеции

\[S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 2 } } = \frac { C _ { 0 } + C _ { 1 } } { 2 } \cdot \theta = \frac { C _ { 0 } + C _ { 0 } ( 1 + \alpha \theta ) } { 2 } \theta = C _ { 0 } \theta + \frac { \alpha C _ { 0 } \theta ^ { 2 } } { 2 }\]

и, следовательно,

\[Q _ { \text{пол.}} = m _ { 0 } C _ { 0 } \left( \theta + \frac { \alpha \theta ^ { 2 } } { 2 } \right) .\tag{2}\]

Приравнивая (1) и (2), получаем квадратное уравнение относительно \(\theta\).

\[m _ { 0 } C _ { 0 } \frac { \alpha } { 2 } \theta ^ { 2 } + m _ { 0 } C _ { 0 } \theta = m _ { 1 } C _ { 1 } t _ { 1 } - m _ { 1 } C _ { 1 } \theta .\]

В приведенном виде

\[\theta ^ { 2 } + \frac { 2 ( m _ { 0 } C _ { 0 } + m _ { 1 } C _ { 1 } ) } { \alpha m _ { 0 } C _ { 0 } } \theta - \frac { 2 m _ { 1 } C _ { 1 } t _ { 1 } } { \alpha m _ { 0 } C _ { 0 } } = 0 .\]

Это уравнение в числах

\[\theta ^ { 2 } + 4 3 6 \, \theta - 1 2 1 1 5 = 0\]

имеет один из корней

\[\theta \approx 2 6 \ ^ { \circ } \mathrm { C } .\]

Второй корень физического смысла не имеет, он появился как следствие неоправданного использования формулы (2) в области \(\theta < 0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.