Три шарика на стержнях

Трения нет, поэтому сохраняется механическая энергия. Скорости шариков связывает нерастяжимость стержня: проекции скоростей его концов на стержень равны.

Скорость верхнего шарика \(u=\cos\beta\sqrt{2gl(1-\sin\beta)}\), скорость каждого из нижних \(v=\sin\beta\sqrt{2gl(1-\sin\beta)}\).

9-2. По условию задачи система находится в вертикальной плоскости, т.е. в плоскости рисунка. Обозначим \(u\) — скорость верхнего шарика (массой \(2m\)), \(v\) — скорость нижних шариков. Ввиду симметричного разъезжания стержней скорости нижних тел, скользящих по плоскости, одинаковы по модулю

\[\vert \vec{v}_1\vert = \vert \vec{v}_2\vert\]

Диссипативные силы отсутствуют, поэтому можно воспользоваться законом сохранения энергии. Будем считать, что значение потенциальной энергии отсчитывается от плоскости основания. Тогда

\[E_{\text{пот.1}} = E_{\text{пот.2}} + E_{\text{кин.2}},\]

где

\[E_{\text{пот.1}} = 2mgl, \, E_{\text{пот.2}} = 2mgl \sin \beta, \, E_{\text{кин.2}} = \frac{2mu^2}{2} + 2\frac{mv^2}{2} = m(u^2 + v^2).\]

Подстановка соотношений для энергий в закон сохранения дает

\[2gl = 2gl \sin \beta + u^2 + v^2.\tag{1}\]

С другой стороны, неизменность длины стержня (по условию стержни жесткие) позволяет записать второе уравнение для проекций скоростей движения тел на направление прямой, проходящей по оси стержня

\[v \cos \beta = u \sin \beta, \Rightarrow v = u \operatorname{tg} \beta.\tag{2}\]

Совместное решение (1), (2) позволяет выразить скорости шариков

\[u = \cos \beta \sqrt{2gl(1 - \sin \beta)}, \, v = \sin \beta \sqrt{2gl(1 - \sin \beta)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.