Два вращающихся цилиндра
9-1. К горизонтально расположенному шероховатому цилиндру радиусом \(R_1\), вращающемуся с постоянной частотой \(n_1\), прижимают сверху шероховатый цилиндр радиусом \(R_2\). Ось второго цилиндра также горизонтальна, угол \(AOB\) равен \(\alpha\). Определите установившуюся частоту вращения верхнего цилиндра. Оси обоих цилиндров жестко закреплены. Поверхности цилиндров не деформируются.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТрение направлено против скорости проскальзывания. Верхний цилиндр раскручивается, пока составляющая этой скорости, перпендикулярная линии \(OB\), не обратится в нуль.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(n_2=\dfrac{R_1n_1\cos\alpha}{R_2}\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение9-1. В первый момент после соприкосновения относительная скорость поверхностей цилиндров равна скорости поверхности нижнего цилиндра \(v_1 = 2\pi n_1 R_1\). Нормальная относительно оси \(OB\) составляющая этой скорости, (точнее, силы трения) раскручивает цилиндр. Возникает сила трения за счет разности относительных скоростей. Нормальная составляющая силы трения исчезает, когда относительная скорость \(\vec{v}_{\text{отн.}} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1\) станет параллельна оси \(OB\). Из прямоугольного треугольника скоростей \(v_2 = v_1 \cos \alpha\) или через частоты
\[2\pi n_2 R_2 = 2\pi n_1 R_1 \cos \alpha.\]
Откуда искомая частота
\[n_2 = \frac{R_1 n_1 \cos \alpha}{R_2}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Сани и человек на льду Белорусская 1989/90, заключительный этап, 9 кл.
- Диск в ножницах Белорусская 1997/98, заключительный этап, 10 кл.
- Храбрый Мюнхгаузен Белорусская 2004/05, заключительный этап, 9 кл.
- Ящик на наклонной плоскости «Покори Воробьёвы горы!» 2009/10, заключительный этап, 11 кл.
- Брусок под углом МОШ 2011/12, заключительный этап, 10 кл.
- Удержание, или как быть точнее! Белорусская 2011/12, заключительный этап, 10 кл.