Удержание, или как быть точнее!

Подсказка

Книга покоится, пока сила трения покоя не превышает \(\mu N\): граничные значения силы \(F\) получаются, когда трение направлено вниз или вверх вдоль доски; для линеаризации составьте сумму и разность границ.

Ответ

1.1) \(F_{(\pm)}=mg\sin\alpha\pm\mu mg\cos\alpha=mg\sqrt{1+\mu^2}\sin(\alpha\pm\varphi)\), \(\operatorname{tg}\varphi=\mu\); 1.2) при \(\alpha=0\) границы \(\pm\mu mg\), скольжение без силы начинается при \(\alpha=\operatorname{arctg}\mu\), максимум \(F_{(+)}=mg\sqrt{1+\mu^2}\) при \(\alpha^*=90^\circ-\varphi\); 2.2) \(\mu\approx0{,}31\) (по силе на горизонтальной доске \(0{,}31\pm0{,}09\), по углу начала скольжения \(0{,}31\pm0{,}04\)); 3.2–3.3) \(F_{(+)}+F_{(-)}=2mg\sin\alpha\), \(F_{(+)}-F_{(-)}=2\mu mg\cos\alpha\), \(\mu=0{,}304\pm0{,}015\); из зависимости \(\dfrac{R}{S}=\mu\operatorname{ctg}\alpha\): \(\mu=0{,}301\pm0{,}005\).

Решение

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Границы возможных значений силы \(F\) определяются направлением действия силы трения. Модуль силы трения определяется стандартным образом

\[F_{\text{тр.}} = \mu N = \mu mg \cos \alpha.\tag{1}\]

Следовательно, проекция силы \(F\), при которой книга еще находится в покое, может лежать в пределах

\[F_{(\pm)} = mg \sin \alpha \pm \mu mg \cos \alpha.\tag{2}\]

Для удобства анализа эту формулу можно представить в виде

\[F_{(\pm)} = mg \sin \alpha \pm \mu mg \cos \alpha = mg \sqrt{1 + \mu^2} \sin(\alpha \pm \varphi),\tag{3}\]

где \(\operatorname{tg} \varphi = \mu\).

1.2

Графики этих функций показаны на рисунке (График 1).

Характерными точками графика являются:

1) значения сил при горизонтальном расположении доски

\[F_0 = \pm \mu mg,\tag{4}\]

2) точка пересечения с осью углов

\[\alpha = \varphi = \operatorname{arc tg} \mu,\tag{5}\]

при этом угле наклона начинается скольжение книги без внешней силы \(F\).

3) точка максимума функции \(F_{(+)}\):

\[F_{\text{max}} = mg \sqrt{1 + \mu^2} \quad \text{при} \quad \alpha^* = 90^\circ - \varphi.\tag{6}\]

1.3 Любая из этих точек может служить для определения коэффициента трения. Однако экспериментально определить положение максимума затруднительно.

Результаты измерений границ сил представлены в таблице 1. Для экономии места в ней же приведены и результаты необходимых расчетов.

Таблица 1. Результаты измерений и расчетов.

Для измерения сил, больших, чем \(4\)Н, можно воспользоваться следующей методикой: протянуть нить сквозь книгу, так, чтобы ее концы были параллельны друг другу. Один конец нити тянуть непосредственно рукой, а второй с помощью динамометра. Тогда суммарная сила, действующая на книгу, будет в два раза больше показаний динамометра.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке. Для построения теоретических зависимостей, описываемых формулой (3), необходимо определить (хотя бы приблизительно) коэффициент трения. Воспользуемся для этого двумя характерными точками. 1) Измеренное значение силы трения при движении по горизонтальной поверхности равно \(F_{0} = (1{,}3 \pm 0{,}1) \text{H}\); а значение силы тяжести \(F_{50} = (4{,}2 \pm 0{,}2) \text{H}\). Здесь погрешность, как минимум в два раза выше, потому, что второй конец нити удерживается рукой. По этим значениям сил рассчитаем коэффициент трения

\[\tilde{\mu}_{1} = \frac{F_{0}}{F_{50}} = \frac{1{,}3}{4{,}2} \approx 0{,}31,\tag{7}\]

с погрешностью

\[\Delta \mu = \tilde{\mu}_{1} \sqrt{\left(\frac{\Delta F_{0}}{F_{0}}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta F_{50}}{F_{50}}\right)^{2}} \approx 0{,}09.\tag{8}\]

Оценка погрешности по упрощенной формуле

\[\Delta \mu = \tilde{\mu}_{1} \left(\frac{\Delta F_{0}}{F_{0}} + \frac{\Delta F_{50}}{F_{50}}\right) \approx 0{,}12.\tag{9}\]

Относительная погрешность измерения коэффициента трения таким способом равна \(\varepsilon_{\mu} = 40\%\). 2) Определение коэффициента трения по углу наклона плоскости, при котором начинается скольжение (по нашим измерениям он соответствует высоте подъема \(h = (15 \pm 2) \text{см}\)), приводит к такому же результату:

\[\tilde{\mu}_{2} = \operatorname{arc tg} \frac{h}{\sqrt{L^{2} - h^{2}}} \approx 0{,}31\tag{10}\]

но с меньшей погрешностью

\[\Delta \mu \approx \tilde{\mu}_{2} \frac{\Delta h}{h} = 0{,}04.\tag{11}\]

При этом методе относительная погрешность измерения равна \(\varepsilon_{\mu} = 13\%\) Таким образом, для теоретических расчетов можно значение коэффициента трения принять равным \(\mu \approx 0{,}31\).

Часть 3. Экспериментально-теоретическая.

Расчеты удобно проводить по формуле (3), в которой \(\varphi = \arcsin \frac{h}{L} \approx 0{,}305\). Результаты расчетов также отражены на графике 1. Максимальное различие между результатами измерений и расчетов не превышает 10%.

3.2 Наиболее простая линеаризация зависимостей непосредственно следует из формулы (2). Можно выразить сумму и разность верхней и нижней границ измеренных сил

\[S = F_{(+)} + F_{(-)} = 2mg \sin \alpha\]

\[R = F_{(+)} - F_{(-)} = 2\mu mg \cos \alpha.\tag{22}\]

Эти величины линейно зависят от синуса и косинуса угла наклона, которые не сложно рассчитать по высоте подъема доски. Тогда отношение коэффициентов пропорциональности в этих зависимостях и будет равно коэффициенту трения.

Результаты расчетов также приведены в Таблице 1. Графики линеаризованных зависимостей показаны на рисунке 2.

Каждая из этих зависимостей имеет четко выраженный прямолинейный участок. Отклонения от линейности наблюдаются только при больших углах, где погрешности измерений особенно велики.

Расчет параметров линейных зависимостей предпочтительнее провести по методу наименьших квадратов. Для суммы параметры линейной зависимости \(S = a_S \sin \alpha + b_S\) равны (не смотря на то, что размерности в данном случае не существенны, назовем – ньютоны)

\[a_S = 8{,}36 \pm 0{,}12\]

\[b_S = -0{,}04 \pm 0{,}05.\tag{23}\]

Параметр сдвига \(b_S\) может считаться равным нулю, поэтому подтверждается теоретическая прямо пропорциональная зависимость.

Для разности сил аналогичные параметры зависимости \(R = a_R \cos \alpha + b_R\) имеют следующие значения

\[a_R = 2{,}54 \pm 0{,}12\]

\[b_R = -0{,}09 \pm 0{,}09.\tag{24}\]

Значение параметра сдвига и его погрешность также позволяют считать данную зависимость прямо пропорциональной. Значение коэффициента трения, рассчитанное по найденным коэффициентам наклона, равно

\[\tilde{\mu}_{3}=\frac{a_{R}}{a_{S}}=0{,}304.\tag{25}\]

Его погрешность

\[\Delta \mu=\tilde{\mu}_{3} \sqrt{\left(\frac{\Delta a_{R}}{a_{R}}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta a_{S}}{a_{S}}\right)^{2}} \approx 0{,}015.\tag{26}\]

Таким образом, более тщательная обработка с учетом всех полученных данных позволила повысить точность определения коэффициента трения почти в три раза. Окончательное значение измеренного коэффициента трения равно

\[\mu=0{,}304 \pm 0{,}015.\tag{27}\]

Здесь относительная погрешность определения коэффициента трения составляет \(\varepsilon_{\mu}=5\%\) Рассмотрим, наконец, еще один эффектный способ линеаризации. Для этого разделим две функции (22) друг на друга

\[\frac{R}{S}=\mu \operatorname{ctg} \alpha.\tag{28}\]

Построенный график зависимости «отношения разности к сумме» от котангенса угла наклона показан на следующем рисунке.

График 4. Последняя линеаризация

Коэффициент наклона этого графика непосредственно равен коэффициенту трения. Расчет по методу наименьших квадратов дает следующее значение

\[\mu = 0{,}301 \pm 0{,}005.\]

Причем относительная погрешность составляет \(\varepsilon_{\mu} = 2\%\).

Отметим, что в данном случае параметр сдвига равен \(b = -0{,}009 \pm 0{,}016\), поэтому его достоверно можно считать равным нулю.

В заключение подчеркнем, что повышение точности связано с увеличением числа результатов измерений, которые принимаются во внимание.

Впрочем, сам коэффициент трения изменяется от точки к точке в большем диапазоне.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.