Храбрый Мюнхгаузен

Грузы трогаются по очереди справа налево: каждый начнёт скользить, когда сила упругости пружины, соединённой с ним с одной стороны, превысит силу трения скольжения. Постройте график по участкам, где деформация меняется линейно.

Покой до \(t_1 = 20\) с; \(\Delta l=(\alpha t-F_0)/k\) при \(20\text{ с}<t<39\) с; \(\Delta l=(2\alpha t-3F_0)/k\) при \(39\text{ с}<t<59\) с; при \(t\ge 59\) с \(\Delta l=\alpha t/k\), в момент \(t^*=59\) с \(\Delta l^*=5{,}9\) см (\(F_0=\mu mg\)).

Задание 3. «Храбрый Мюнхгаузен»}

После начала действия внешней силы правый груз \(m\) (следовательно и вся система) некоторое время \(t_1\) будет оставаться в покое, поскольку сила трения покоя между плоскостью и грузом сможет компенсировать внешнюю движущую силу \(F(t)\).

Соответственно этот этап «покоя» (участок \(1-2\) на рис.22) прекратится, когда внешняя сила достигнет максимального значения силы трения покоя \(F_0 = \mu mg\) (явлением застоя пренебрежем)

\[\alpha t_1 = \mu mg = F_0 \Rightarrow t_1 = \frac{F_0}{\alpha} = 20 \text{ с}.\tag{1}\]

Таким образом, спустя время \(t_1\) после начала действия силы правый груз начнет скользить медленно скользить по плоскости, растягивая при этом правую (первую) пружину.

Будем считать, что при подобном «медленном» скольжении груз в любой момент времени находится в равновесии под действием постоянной силы трения скольжения \(F_0\) и переменной силы упругости первой пружины \(F_{y1}(t) = k \Delta l_1(t)\)

\[\alpha t = F_0 + k \Delta l_1(t) \Rightarrow \Delta l_1(t) = \frac{\alpha t - F_0}{k}.\tag{2}\]

Поскольку (2) представляет собой уравнение прямой, то на этом этапе (участок \(2-3\) на рис.21) абсолютная деформация системы \(\Delta l(t) = \Delta l_1(t)\) будет линейно увеличиваться со временем. Этот этап продолжится до момента времени \(t_2\), когда в движение придет средний груз, т.е. когда сила упругости правой пружины превысит величину \(F_0\)

\[k \Delta l_1(t_2) = F_0 \Rightarrow (2) \Rightarrow \alpha t_2 - F_0 = F_0 \Rightarrow t_2 = \frac{2F_0}{\alpha} = 39 \text{ с}\tag{3}\]

Далее понятно, что после начала движения центрального груза начнет деформироваться и левая (вторая) пружина. Если ее абсолютная деформация \(\Delta l_2(t)\), то из условия равновесия центрального груза получим (не будем забывать, что на центральный груз также действует постоянная сила трения скольжения \(F_0\))

\[k \Delta l_2(t) + F_0 = k \Delta l_1(t) \Rightarrow \Delta l_2(t) = \Delta l_1(t) - \frac{F_0}{k} = \frac{\alpha t - 2F_0}{k}.\tag{4}\]

Теперь уже абсолютная деформация системы будет равна сумме абсолютных деформаций каждой из пружин

\[\Delta l(t) = \Delta l_1(t) + \Delta l_2(t) = \{(3),(4)\} = \frac{2\alpha t - 3F_0}{k}.\tag{5}\]

Заметим, что (5) также представляет собой линейную зависимость (участок \(3-4\) на рис.21), правда с иным (удвоенным) угловым коэффициентом.

Наконец в момент времени \(t_3\), когда сила упругости левой (второй) пружины также превысит значение \(F_0\), в движение придет и левый груз

\[k \Delta l_2(t_3) = F_0 \Rightarrow t_3 = \frac{3F_0}{\alpha} = 59\,\text{с}.\tag{6}\]

Подчеркнем, что выражение (6) имеет очевидный физический смысл — в момент времени \(t_3\) внешняя движущая сила станет равной максимальной силе трения покоя в системе. Таким образом, последний (левый) груз сдвинется с места через время

\[t^* = 59\,\text{с}.\]

Согласно построенному графику деформация системы в этот момент

\[\Delta l^* = \frac{3F_0}{k} = 5{,}9\,\text{см}.\]

Далее система будет двигаться как единое целое (т.е. ускорения всех грузов будут одинаковыми), и можно показать, что в этом случае ее деформация будет увеличиваться с течением времени по линейному закону (участок \(4-5\) на рис.21)

\[\Delta l(t) = \Delta l_1(t) + \Delta l_2(t) = \frac{\alpha t}{k}.\tag{7}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.